Note de cours Mathématique

Les Entiers Naturels        2

Les Nombres premiers et la factorisation        3

Les Entiers Relatifs        4

Les Nombres Rationnels        5

La représentation décimale des nombres        7

Conversion d’un nombre décimal vers une fraction        7

Les nombres Irrationnels        8

Les Ensembles        9

Les Exposants        9

Les Logarithmes        10

Matrices et Déterminants        11

Les Entiers Naturels

Un entier naturel est un nombre ≥ 0 qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisions ont toujours priorité sur les additions et les soustractions. Ainsi, la réponse à l’exemple suivant n’est pas 20 mais bien 14.

        2 + 3 · 4 = 14

Il arrive parfois qu’ont veulent effectuer une addition avant une multiplication.  Dans ce cas, on peut utiliser les parenthèses pour prioriser une opération. En effet, on doit toujours effectuer les opérations qui sont à l’intérieur des parenthèses en premier. Lorsqu’il y a plusieurs parenthèses une dans l’autre, on effectue toujours celle à l’intérieur en premier.

        (2 + 3) · 4 = 20

        4(2(1 + 2)) = 24

        (2 + 3) · (1 + 2) = 15

Il existe une autre technique pour effectuer des multiplications lorsqu’on utilise des parenthèses. Il faudra bien la maitriser, car il sera indispensable de l’utiliser lorsque nous aurons à travailler avec des équations algébriques. En effet, lorsqu’un des nombres dans une équation est représenté par une lettre, il n’est parfois pas possible d’effectuer les opérations à l’intérieur d’une parenthèse. Dans le cas d’une multiplication, on peut multiplier chaque nombre d’une parenthèse par ceux de l’autre parenthèse 1 fois puis simplifier l’équation. Voici un exemple de cette méthode utilisant la dernière équation de l’exemple précédent.

        (2+3) · (1+2) = 2(1+2) + 3(1+2) = (2 · 1 + 2 · 2) + (3 · 1 + 3 · 2) = (2+4) + (3+6) = 15

Bien sûr cette méthode est beaucoup plus longue. Cependant, si on utilise une équation algébrique, c’est la seule façon possible de simplifier l’équation.

        4(2a+3b) = 4 · 2a + 4 · 3b = 8a + 12b

        (2a+3) · (2 + 4) = 2a (2 + 4) + 3 (2 + 4) = (4a + 8a) + (6 + 12) = 12a + 18

Les Nombres premiers et la factorisation

Un nombre premier est un nombre > 1 qui est seulement divisible par lui-même et par 1. Par exemple, 5 est un nombre premier puisqu’on peut seulement le diviser par 5 ou par 1. Si on le divise par autre chose, on obtiendra un nombre rationnel. Voici un ensemble contenant plusieurs nombres premiers.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …}

La factorisation d’un nombre est le produit de tous ses facteurs. Un facteur est un nombre par lequel on peut en diviser un autre sans qu’il y ait de reste après la virgule. Par exemple, 4 est un facteur de 12 puisqu’on peut diviser 12 par 4 et qu’il n’y aura pas de reste après la virgule. Le chiffre 5 ne serait par contre pas un facteur de 12 puisqu’après avoir effectué cette opération, on obtient un nombre rationnel.  Voici tous les facteurs du nombre 12.

{2, 3, 4, 6, 12}

L’ensemble précédent est composé de nombres premiers, mais aussi de nombres qui ne sont pas premiers. Dans certains cas, il sera très utile d’identifier seulement les facteurs premiers d’un nombre. Pour commencer, il suffit de prendre un nombre et de le diviser par 2 (le plus petit nombre premier). Si c’est possible sans qu’il y ait de reste après la virgule, on prend alors le résultat obtenu et on le divise à nouveau par 2. Il est important de noter le nombre de fois qu’on divise par 2 et ainsi de suite. Lorsqu’on obtient un nombre décimal, on retourne au résultat précédent et on divisera ensuite par le prochain nombre premier dans la liste. On continue ainsi jusqu’à ce qu’on obtienne 1.

        48 ÷ 2 = 24        6 ÷ 2 = 3        48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

        24 ÷ 2 = 12        3 ÷ 2 = 1,5[pic 1]

        12 ÷ 2 = 6        3 ÷ 3 = 1

La factorisation avec des nombres premiers peut-être est utilisée lorsqu’on doit trouver le plus petit commun multiple de 2 nombres (PPCM). En factorisant 2 nombres et en prenant le plus grand nombre de fois que chacun des facteurs premiers apparait, on peut trouver leur PPCM. Par exemple, prenons les nombres 48 et 26.

        48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3        PPCM = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 13 = 624

        26 = 2 · 13

Les Entiers Relatifs

Les entiers relatifs son semblable aux entiers naturels, mais ils incluent également les nombres qui sont < 0. Un nombre qui est plus petit que 0 sera représenté avec un signe négatif à l’avant. Par exemple le nombre -12. Les entiers relatifs incluent autant les nombres positifs que négatif. L’ensemble des entiers relatifs peut être représenté de la façon suivante.

{±0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10, …}

Lorsqu’on fait face à des équations qui comportent des nombres positifs et négatifs, il est important de respecter certaines règles lorsqu’on effectue les opérations. Ce qui est important, c’est premièrement de respecter la priorité d’opération comme avec les entiers naturels puis, lorsqu’on doit effectuer des additions ou des soustractions, on garde seulement le premier signe à gauche d’un nombre. En faisant cela, il est possible de déplacer et réarranger l’équation et d’obtenir le même résultat. Si un nombre n’a pas de signe à sa gauche, mais qu’il est positif, on ajoutera automatiquement un + si on doit le déplacer.

...