Cours complet, lois à densités

DEVOIR  DE  MATHEMATIQUES

Exercice 1

Dans un parc national, un guide propose quotidiennement l’observation de chamois venant s’abreuver dans un lac au coucher du soleil. On admet que le temps d’attente  T  du groupe de personnes, en heures, avant l’arrivée des animaux suit une loi uniforme sur [0 ;1].

1)a)Donner l’expression de la fonction  densité de probabilité de la loi de .[pic 1][pic 2]

   b)Calculer  . Interpréter ce résultat.[pic 3]

2)Calculer la probabilité que les animaux arrivent au lac entre 15 minutes et 30 minutes après le début de l’observation.

3)Le groupe attend depuis 20 minutes, quelle est la probabilité qu’il attende 15 minutes de plus ?

4)On souhaite réaliser un bilan après un mois d’observations quotidiennes. Quel serait le temps d’attente moyen du groupe de personnes ? Justifier.

Exercice 2 

Soit  X  la variable aléatoire qui prend pour valeur la durée d’attente, en minutes, à un guichet d’une banque. On admet que  X  suit une loi exponentielle de paramètre [pic 4].      

 1) Déterminer une valeur approchée de [pic 5] arrondie à [pic 6] près sachant que la probabilité

    qu’un client attende moins de  8  minutes est  0,7.

 2) Calculer la probabilité qu’un client attende plus de  15  minutes (arrondir à ).[pic 7]

 3) Déterminer la probabilité qu’un client attende plus de  11  minutes sachant

      qu’il attend déjà depuis  5  minutes (arrondir à ).[pic 8]

 4) On pose   =   où    est un réel strictement positif.[pic 9][pic 10][pic 11]

1. Montrer que la fonction  définie sur  par  est une primitive sur de la fonction .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
2. En déduire le calcul de l’intégrale  en fonction de .[pic 17][pic 18]
3. Déterminer la limite de    lorsque  tend vers  +[pic 21]. Que représente ce résultat ?[pic 19][pic 20]

 5) On interroge, de façon indépendante, dix clients de cette banque choisis au hasard.

      Soit  Y  la variable aléatoire égale au nombre de clients ayant attendu plus de  15

      minutes au guichet. On admet que la probabilité qu’un client attende plus de 15 minutes

      est environ égale à 0,1046.

1. Quelle loi de probabilité la variable aléatoire Y suit-elle ? Expliquer.
2. Calculer la probabilité d’avoir exactement six clients ayant attendu plus de 15 minutes.
3. Calculer l’espérance mathématique de Y. Que représente ce résultat ?

Exercice 3 : Q.C.M.

Pour les trois premières questions, donner la bonne réponse en justifiant.

1)Les solutions sur de l’équation   sont :[pic 22][pic 23]

   a)     b)     c).[pic 24][pic 25][pic 26]

2)La limite de la fonction  lorsque  tend vers  est :[pic 27][pic 28][pic 29]

   a) 1                                   b) 2                                 c) .[pic 30]

3)L’intégrale  est égale à :[pic 31]

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