Devoir de mathématiques.

Correction compo 2

Partie A : pendule simple.(10 points)[pic 1]

On étudie un pendule simple constitué d’un objet de masse m considéré comme ponctuel, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.[pic 2]

Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans
le référentiel terrestre considéré comme galiléen.[pic 3]

L’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d’équilibre G0, le pendule oscille
sans frottements avec une amplitude βm.[pic 4]

Gi est la position initiale à partir de laquelle le pendule
est abandonné sans vitesse.[pic 6][pic 5]

Une position quelconque G est repérée par β ,
élongation angulaire mesurée à partir de la position d’équilibre.

1. Étude énergétique.

On prendra l’origine des énergies potentielles en G0, origine de l’axe des z.

1. Donner l’expression de l’énergie cinétique en G. (0,5 point)

Le système étudié est l’objet de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

L'énergie cinétique en G de la masse m animée de la vitesse vG est:   EC = [pic 7](0,5 point)

1. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle en G  est EP = mgL(1 – cosβ ). (1 point)

Par définition : Ep=m.gzG  (0,5 point)

 avec zG=  L – L cosβ (voir schéma)  (0,5 point pour la justification)

Donc EP = mgL(1 – cosβ)

1. Donner l’expression de l’énergie mécanique. (1 point)

L'énergie mécanique du pendule simple en G est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : (0,5 point)

Em = EC + EP

Em = [pic 8]+ m.g.L.(1 – cos β ) (0,5 point)

1. Faire le bilan des forces appliquées à l’objet considéré comme ponctuel. (1 point)

Les forces appliquées à l’objet sont : le poids de l’objet [pic 9](0,5 point), la tension du fil [pic 10].(0,5 point)

1. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que l’énergie mécanique se conserve.

(2 points)

D’après le théorème de l’énergie cinétique entre deux positions G1et G2 de l’objet ponctuel : [pic 11](0,5 point)

Or [pic 12]est orthogonale au mouvement à chaque instant donc [pic 13]=0(0,5 point)

[pic 14](0,5 point pour travail du poids) 

(0,5 point)

1. Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre  G0 en fonction de g, L et βm. (1,5 point)

L'énergie mécanique étant une constante du mouvement, on peut écrire entre les positions G0 et Gi:

Em(G0) = Em(Gi)  (0,5 point)

[pic 15]+ m.g.L.(1 – cos β0 ) = [pic 16]+ m.g.L.(1 – cos βm ) 

Or:        cos β0 = cos(0) = 1        donc   m.g.L.(1 – cos β0 ) = 0 J        (0,5 point pour justifications)

et        [pic 17] = 0 m.s-1         car pour β = βm le pendule est abandonné sans vitesse.

soit         [pic 18]  = m.g.L.(1 – cosβm )

en simplifiant par m:

[pic 19](0,5 point)

1. Calculer sa valeur.  Données :  g = 10 m.s–2 ; L = 1,0 m ; cosβm = 0,95. (0,5 point)

[pic 20]= [pic 21]1,0 m.s-1. (0,5 point)

1. Isochronisme.

1. Énoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations. (0,5 point)

Dans le cas des "petites oscillations" la période du pendule est indépendante de l'amplitude βm. (0,5 point)

1. Montrer qu’une seule de ces  expressions est dimensionnellement correcte : 

T0 = 2π[pic 22]                T0 = 2π[pic 23]                T0 = 2π[pic 24]                (2 points)

On a:         [T0] = T

        [g] = L.T–2  car g est homogène à une accélération                 (0,5 point pour les dimensions)

        [L] = L

        [βm] = 1  et [π] = 1 car un angle n'a pas de dimension physique

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