DM maths fonction logarithme

TS Correction du devoir à la maison n°7

2018 – 2019

Exercice 1 : PARTIE A :

1.

2.

Par lecture graphique, on a f (1) = 1

f '(1)=coefficientdirecteurdelatangenteT = ∆y = 4,5−1=−3,5.

a. b.

c.

f (x)= axln(x)+ b −3 où a et b sont des nombres réels. x

a. f (1)=a×1×ln(1)+b−3=0+b−3=b−3.Ord’aprèslaquestion1.a.ona: f (1)=1 1

donc: b−3=1⇔b=4.

b. f'(x)=a×ln(x)+ax×1− b +0=aln(x)+a− 4 .Ainsi,ona:

22

xxTx

f '(1)=a×ln(1)+a− 42 =a−4 etcomme f '(1)=−3,5alors a−4=−3,5⇔a=0,5.

∆x 0−1 y= f '(1)(x−1)+ f (1)=−3,5x+3,5+1=−3,5x+4,5

Une équation de la tangente T est :

1

PARTIE B :Soit f une fonction définie et dérivable sur ]0;+∞[ par : f (x)= xln(x)+ 4 −3.

1. a. b.

2. a.

b.

limf(x)=+∞carlimxln(x)=+∞(parproduit)etlim4=0.

2x

x→+∞

lim f (x) = +∞

x→+∞

(par somme)

x→+∞ x

lim x ln (x) = 0 (par croissance comparée) et

x→0+

car

lim 4 = +∞ et donc la courbe C f admet une asymptote verticale d’équation x = 0 .

x→0+ x→0+ x

f'(x)=

1×ln(x)+ x× 1 x−4+0=ln(x)+1−4

22 2x2x

f''(x)=11+0−4×−2= 1 + 8 . 33

2x  x 2x x

Puisque 1 + 8 >0 pour tout x∈]0;+∞[alors f ''(x)>0ce qui signifie que f ' est

d.

e.

( f 'continue, f 'strictementcroissante, f '(1)=−3,5<0 et f '(3)≈0,605>0donc...) A l’aide de la calculatrice, on a : f '(2,133) ≈ −0, 0004 et f '(2,134) ≈ 0, 0006 donc la

valeurduréelα telque f'(α)=0est:α≈2,133. On a :

3

2x x

strictement croissante sur ]0;+∞[

c. Pour justifier l’existence d’une unique solution α sur ]0; +∞[ pour l’équation f'(x)=0, il faut employer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

x

0 α +∞

Variations de f '(x)

0

Signes de f '(x)

–0+

Variations de

f (x)

+∞ +∞ ≈ −0,3168

TS

...