Contrôle de Maths: La Fonction Exponentielle

Exercice 1

Equation différentielle (6 points)

Partie A : ROC

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où

a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ∈ R.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E)

y′ = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R.

1) Démontrer que la fonction f0 définie sur R par f0(x) = −

b

a

est une solution de (E).

2) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence suivante :

f est solution de (E) ⇔ f − f0 est solution de l’équation différentielle y′ = ay.

3) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

Partie B

Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa

vitesse à l’instant t, où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde.

On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation

différentielle :

10v′(t) + v(t) = 30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’està-

dire que v(0) = 0.

1) Démontrer que v(t) = 30

1 − e

−

t

10

.

2) a) Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[.

b) Déterminer la limite de la fonction v en +∞.

3) On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son

accélération v′(t) est inférieure à 0,1 m.s−2. Déterminer, à la seconde près, à l’aide de

votre calculette la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est

stabilisée. Aucune justification n’est demandée.

Exercice 2

Limites, dérivées, équation et inéquation (6 points)

1) Déterminer les limites suivantes :

a) lim

x→+∞

ex − 1

x

b) lim

x→−∞

(1 + x)ex c) lim

x→+∞

e2x − ex + 2 d) lim

x→0

e2x − 1

x

Paul Milan 1 sur 3 19 novembre 2011

contrˆole de math´ematiques Terminale S

2) Déterminer la fonction dérivées des fonctions suivantes :

f (x) = (x2 − 2x)ex g(x) = xe1x

h(x) =

3ex

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