La fonction exponentielle.

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.

On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle

{\displaystyle \exp(x)=\mathrm {e} ^{x}} \exp(x)={\mathrm e}^{x}

La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a.

On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière.

C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme f(x) = Aeλx.

Définitions Modifier

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (la dérivée est égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (elle transforme une somme en produit), ou par son développement en série.

Par une équation différentielle Modifier

Courbe d'équation y = exp(x) et quelques sous-tangentes.

Définition — On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :

{\displaystyle f'=f\qquad f(0)=1} f'=f\qquad f(0)=1

Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de exp. La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel x de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse x avec l'axe des x, est constante et vaut 1. On montre de plus que f ne s'annule jamais.

Démonstration

Il existe une fonction f solution du problème de Cauchy :

Cette existence est garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Les sections suivantes en fournissent trois autres preuves (à partir de la fonction logarithme, de l'équation fonctionnelle, ou comme série entière). En voici une cinquième : la méthode d'Euler. L'approximation affine de la fonction f montre que, pour h petit, {\displaystyle f(a+h)} f(a+h) est voisin de {\displaystyle f(a)+f'(a)h} f(a)+f'(a)h, c'est-à-dire de {\displaystyle f(a)(1+h)} f(a)(1+h). En partant de x0 = 0, en prenant pour h la valeur x/n, et en appliquant l'approximation affine n fois, on arrive à dire que f(x) doit être voisin de {\displaystyle \scriptstyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} \scriptstyle \left(1+{\frac xn}\right)^{n}. Si l'on note exp cette fonction, ce processus de construction conduit à définir exp(x) par

{\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }u_{n}(x)\quad {\text{où}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }u_{n}(x)\quad {\text{où}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}

(en particulier, exp(0) = 1). Encore faut-il montrer que la suite (un(x)) a bien une

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