Fiche synthèse fonction exponentielle

1. Fonctions exponentielles de base q

Théorème et définition

Soit q un réel strictement positif.

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que :

pour tout entier n ∈ Z, f(n)=qn

pour tous réels x et y : f(x+y)=f(x)×f(y) (relation fonctionnelle)

Cette fonction s'appelle fonction exponentielle de base q et on note f(x)=qx

Remarques

D'après la première propriété et les formules vues au collège, on a notamment : q1=q, q0=1, q−1=

1

q

Avec la notation exponentielle, la seconde propriété (relation fonctionnelle) s'écrit : qx+y=qx×qy.

A partir de cette propriété on montre également que pour tout q>0 et tous réels x et y :

qx−y=

qx

qy

(en particulier q−y=

1

qy

)

[qx] y=qxy

ce qui généralise les propriétés vues au collège.

La courbe de la fonction x↦qn s'obtient en reliant les points de coordonnées (n, qn). Pour n≥0 ces points représentent la suite géométrique de premier terme u0=1 et de raison q.

Propriété

Pour tout réel x et tout réel q>0, qx est strictement positif.

Propriété

Pour q>1, la fonction x ↦ qx est strictement croissante sur R

Pour 0<q<1, la fonction x ↦ qx est strictement décroissante sur R

Remarque

Pour q=1, la fonction x ↦ qx est constante et égale à 1. Sa courbe représentative est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

2. Fonction exponentielle (de base e)

Théorème et Définition

Il existe une valeur de q pour laquelle la fonction f : x↦qx vérifie f′(0)=1.

Cette valeur est notée e.

La fonction x ↦ ex (parfois notée exp) est appelée fonction exponentielle.

Remarque

Le nombre e est approximativement égal à 2,71828 (on l'obtient à la calculatrice en faisant e1 ou exp(1) ).

Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante et sur R.

Démonstration

Cela résulte du fait que e>1 et des résultats de la section précédente.

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