Maths, les fonctions affines

Chapitre F4

Fonction affine

Pré-requis :

Pour comprendre ce chapitre, vous devez connaître les fonctions linéaires

(chapitre F3) et savoir résoudre un système (chapitre A3).

Introduction

La facture d’eau de monsieur Dupond est résumée dans le tableau suivant :

Consommation en m3 0 10 20 30 40 50

Prix payé en € 55 65 75 85 95 105

Il paie un abonnement de 55 € puis 1 € par m3.

Représentons graphiquement cette situation sur le papier millimétré en prenant

en abscisse 1 cm pour 5 m3 et en ordonnée 1 cm pour 10 €.

Vous remarquez que les points sont alignés et que la droite ne passe pas par

l’origine. Elle coupe l’axe des ordonnées à 55 €, c’est le prix de l’abonnement.

Si on note x le nombre de m3 et f(x) le prix payé, on a f(x) = 55 + 1x, que l’on

écrit f(x) = 55 + x.

On appelle cette fonction une fonction affine.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Consommation

0 en m3

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110 Prix payé en euro

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1. Définition d'une fonction affine

Soient a et b des nombres fixés.

La fonction f qui à tout nombre x fait correspondre le nombre a x + b

s’appelle une fonction affine.

On la note f( x ) = a x + b ou f : x → a x + b

Exemple : f( x ) = 3 x + 2

Cas particuliers :

Si b = 0, alors f( x ) = a x , c’est une fonction linéaire et aussi une fonction

affine. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière.

Si a = 0, alors f( x ) = b, c’est une fonction constante et aussi une fonction

affine. Une fonction constante est donc une fonction affine particulière.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite

d’équation y = a x + b. (Elle ne passe pas par l’origine si b est différent

de 0).

"a" est le coefficient directeur de la droite et "b"est l’ordonnée à

l’origine.

Exercice 1

Parmi les expressions suivantes, préciser celles qui correspondent à une

fonction affine. Indiquer dans ce cas les coefficients a et b.

f( x ) = 7 x - 3 g( x ) = 2 x ² + 3 h( x ) = 7

3

2 −

x

i( x ) = 3 x +1 j( x ) = 3 x − 2

2. Représentation graphique d’une fonction affine

Exemple :

Représentons graphiquement la fonction affine f définie par f( x ) = 3 x + 2.

La variable est x , on lui donne les valeurs que l’on veut.

Si x = 1 alors f(1) = (3 × 1) + 2 = 3 + 2 = 5

Complétons le tableau de valeurs,

x - 1 1 2

f( x) 3 × (- 1) + 2 = - 3 + 2 = - 1 (3 × 1) + 2 = 3 + 2 = 5 (3 × 2) + 2 = 6 + 2 = 8

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Deux points suffisent pour tracer la droite, le troisième permet de vérifier qu’il n’y a

pas d’erreur de calcul.

Exercice 2

On donne f1( x ) = - 3 x + 3 f2( x ) = 2 x - 1

f3( x ) = 2 f4( x ) = 2

2

1 x −

Représenter graphiquement f1, f2 , f3, f4 (on désignera par d1, d2, d3, d4 les

droites représentatives).

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

0

2

4

6

8

10

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3. Exploitation d’une fonction affine

Exemple

Une personne va souvent au cinéma. Elle achète une carte d’abonnement à

25 € et paiera chaque séance 3 €.

Le prix payé en euros en fonction du nombre d’entrées achetées est donné par

la relation f( x ) = 3 x + 25.

a) Représenter graphiquement la fonction f.

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