La fonction affine

La fonction affine

[pic 1]

Introduction :[pic 2]

Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, fait correspondre un seul autre nombre.[pic 3]

La fonction f associe au nombre réel x un nombre réel unique noté f (x)

. Il existe plusieurs types de fonctions, comme par exemple les fonctions affines.

Nous allons donc débuter cette leçon par les définitions et le vocabulaire sur la notion de fonction affine et sur les images et antécédents, puis nous étudierons la représentation graphique d’une fonction affine et la proportionnalité des accroissements. Enfin, nous terminerons par la

résolution d’inéquations du 1er degré et l’étude des variations et du signe d’une fonction affine.

1. Notion de fonction affine[pic 4]

Définition et vocabulaire[pic 5]

Définition[pic 6]

Fonction affine :[pic 7]

a et b désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine f

fonction définie sur R par la relation f (x) = ax + b.

est une

[pic 8]

[pic 9] Exemple

Prenons un exemple avec a = −2 et b = 5.[pic 10]

La fonction f qui à un nombre x associe le nombre −2x + 5 est une

fonction affine définie sur R.

[pic 11]  On note f : x → −2x + 5 ou f (x) = −2x + 5

Observons deux cas particuliers pour lesquels on considère la fonction affine f : x → ax + b .

[pic 12] Si a = 0, l’écriture devient f (x) = b. On dit que f

constante.

Par exemple, f (x) = 3 est une fonction constante.[pic 13]

est une fonction

[pic 14] Si b = 0, l’écriture devient f (x) = ax. On dit que f est une fonction linéaire de coefficient a

Par exemple, f (x) = 4x est une fonction linéaire de coefficient 4.[pic 15]

À retenir[pic 16]

Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines.[pic 17][pic 18]

Toutes les fonctions constantes sont également des fonctions affines.[pic 19]

Images et antécédents[pic 20]

[pic 21] À retenir

On dit que le nombre réel f (x) est l’image du nombre réel x par la fonction f .[pic 22]

Si une fonction f est affine et n’est pas constante, alors tout nombre

admet un antécédent et un seul par la fonction f .

[pic 23] À retenir

On dit que le nombre réel x est l’antécédent du nombre réel f (x) par la fonction f .[pic 24]

Exemple[pic 25]

On considère la fonction f[pic 26]

définie sur R telle que f (x) = −3x + 1.

[pic 27]  L’image de 2 est f (2) = −3 × 2 + 1 = −6 + 1 = −5

[pic 28] Pour calculer un antécédent, il faut résoudre une équation. Pour l’antécédent de 10 : −3x + 1 = 10 alors −3x = 9 et x = −3. On dit que l’antécédent de 10 est −3.

1. Représentation graphique d’une fonction affine[pic 29]

Propriété et vocabulaire[pic 30]

Propriété[pic 31]

[pic 32] Propriété admise :[pic 33]

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f :

x → ax + b définie sur R est une droite (d). La droite (d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b).

On dit que cette droite a pour équation y = ax + b et que :

a est le coefficient directeur de la droite (d) ;[pic 34]

b est l’ordonnée à l’origine de la droite (d).[pic 35]

[pic 36]

Deux méthodes pour représenter une fonction affine[pic 37]

Première méthode pour représenter une fonction af ne

La première méthode est d’utiliser les coordonnées de deux points appartenant à cette droite.

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