Logarithme népérien et fonction exp

La fonction logarithme népérien a d'abord été fabriquée pour simplifier les calculs fastidieux des ingénieurs et des physiciens avant l'invention des calculatrices et ordinateurs.

La fonction logarithme népérien est aujourd'hui définie, - soit comme fonction réciproque de la fonction exponentielle , - soit comme primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1

log et exponentielle servent pour résoudre des équations car elles s'annulent.

La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[ car sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle.

L'équation ln x=1 admet une solution unique dans ℝ cette solution est un irrationnel que l'on note e

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de la fonction inverse, , sur l'intervalle ]0; +∞[, qui s'annule en 1

conséquences: ln 1=0 ET ln est définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[; la dérivée de ln est la fonction inverse

Ne pas oublier les formules indispensables pour les logarithmes népériens :

soit a et b deux réels strictement positifs et n un entier naturel non nul

x est strictement positif, e représente la base de la fonction exponentielle et y est un réel quelconque.

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;

ln(1/b) = - ln(b) ;

ln(a/b) = ln(a) - ln(b) ;

ln(an) = n ln(a) ;

ln(x) = y <==> x = ey .

La fonction ln est continue sur ⎤

⎦0;+∞⎡

⎣ , donc pour tout réel a > 0, on a : lim

x→a

ln x = ln a .

Donc par composée de limites, en posant X = ln x :

lim

x→a

ln x − ln a

x − a = lim

X →ln a

X − ln a

e

X − e

ln a = lim

X →ln a

1

e

X − e

ln a

X − ln a

Comme la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, on a :

lim

X →ln a

1

e

X − e

ln a

X − ln a

= 1

e

ln a = 1

a

et

...