Les Fonctions logarithme népérien
Fiche : Les Fonctions logarithme népérien. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Maeva Vndzt • 11 Janvier 2021 • Fiche • 514 Mots (3 Pages) • 472 Vues
3) Les Fonction logarithme népérien
A) Définition et représentation
Exemple :
A l’aide la touche ln de la calculatrice calculer :
Ln(3) = 1.0986
Ln(2) = 0.693
Ln(0) = Impossible
Ln(1) = 0
Ln(-4) = Impossible
-> Définition de l’ensemble de ln : La fonction est croissante sur ]0 ; +[
La fonction ln est strictement croissante.[pic 1]
La fonction logarithme népérien est la fonction ln telle que pour tout x strictement positif, on associe le nombre ln(x)
ln(1) = 0
Si x>1, alors ln(x) est positif
Si 0<x<=1 alors ln(x) est négatif
B) Propriétés de ln
A | b | lna | lnb | Lna + lnb | Ln(ab) | Ln(a/b) | Lna-lnb |
2 | 3 | 0.693 | 1.099 | 1.792 | 1.792 | -0.405 | -0.405 |
4 | 5 | 1.386 | 1.609 | 2.996 | 2.996 | -0.223 | -0.223 |
14 | 15 | 2.639 | 2.708 | 5.347 | 5.347 | -0.069 | -0.069 |
Donc :
Pour tout réels a et b positifs
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
ln(a)^n = n*ln(a)
0 = ln(1)
Exprimer en fonction de ln(2) :
Ln(16) = ln(2*2*2*2) = ln(2^4) = 4ln(2)
ln(2) – ln(√2) = ln(2) – ln(2)^(1/2) = 1ln(2) – 1/2ln(2) = 1/2ln(2)
ln(8) – 3ln(2) + ln(32) = ln(2^3) – 3ln(2) + ln(2^5) = 3ln(2) – 3ln(2) + 5ln(2) = 5ln(2)
2) Résoudre dans R
ln(x + 5) = 0
ln(x + 5) = ln(1)
x + 5 = 1
x = -4 Donc, S={-4}
ln(2x + 1) – ln(2 – x) = 0
ln(2x + 1) = ln(2 - x)
2x + 1 + x – 1 = 2 – x + x - 1
2x + x = 2 – 1
3x = 1
x = 1/3 Donc S={1/3}
ln(3x² + 3x – 6) = 0
ln(3x² + 3x – 6) = ln(1)
3x² + 3x – 6 – 1 = 1 – 1
3x² + 3x – 7 = 0
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a = 3 / b = 3 / c = -7
Delta = b² - 4ac = 3² - 4 x 3 x (-7) = 93 > 0 donc 2 solutions
x1 = 2.1
x2 = S={1.1 ; 2.1}
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2^x = 4096
ln(2^x) = ln(4096)
x * ln(2) = ln(4096)
x = ln(4096) / ln(2)
x = 12
3^x = 6561
ln(3^x) = ln(6561)
x * ln(3) = ln(6561)
x = ln(6561) / ln(3) = 8
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Si un article augmente de 20% tous les mois, au bout de combien de temps aura-t-il doublé ?
1,2^x = 2
ln(1,2^x) = ln(2)
x*ln(1,2) = ln(2)
x= ln(2) / ln(1.2) = 4
Si un article augmente de 5% tous les mois, au bout de combien de temps aura-t-il doublé ?
1,05^x = 2
ln(1.05^x) = ln(2)
x*ln(1.05) = ln(2)
x = ln(2) / ln(1.05) = 15 (arrondi)
Si je place 10 000 € sur un livret annuel à 3%, au bout de combien de temps on aura 15 000€ ?
1,03^x = 1,5
ln(1.03^x) = ln(1.5)
x*ln(1.03) = ln(1.5)
x = ln(1.5) / ln(1.03)
x = 13.72 = 14 arrondi
Si je place 2000€ sur un livret à 7% annuel, au bout de combien d’année on aura 7000€
1.07^x = 3.5
ln(1.07^x) = ln(3.5)
x*ln(1.07) = ln(3.5)
x = ln(3.5)/ln(1.07)
x = 18,52 = 19 arrondi
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