Étude de fonction logarithme et népérien

ETUDE DE FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I°/ Définition et notation :

La fonction logarithme népérien est une fonction définie quel que soit x appartenant à l’intervalle ] 0 ; + [ ; elle est notée ln( x ).

La fonction dérivée de ln( x ) que l’on notera [ ln( x ) ]’ vaut 1/x.

C’est à partir de cette fonction dérivée que l’on étudiera les variations de ln( x ) sur l’intervalle ] 0 ; + [.

II°/ Sens de variation de la fonction ln( x ) sur son domaine de définition : ] 0 ; + [ .

Dans la suite de l’étude on posera f( x ) = ln( x ), par conséquent d’après ce qui précède on aura f’( x ) = 1/x.

1°/ Etude du signe de la dérivée sur ] 0 ; + [ .

f’( x ) = 1 / x donc quel que soit x appartenant à l’intervalle ] 0 ; + [ 1 / x > 0 donc f’( x ) > 0.

Dés lors de tableau de signe de dérivée est le suivant :

x

0 +

f’( x )

2°/ Tableau de variation de la fonction ln :

Puisque la dérivée de la fonction ln est toujours positive, on peut en conclure que la fonction ln est une fonction strictement croissante sur ] 0 ; + [ . Par conséquent le tableau de variation de cette fonction est le suivant :

x

0 +

ln( x )

Remarques:

On peut ainsi compléter le tableau précédent :

x

0 1 e +

ln( x )

3°/ Quelques valeurs remarquables:

ln( 1 ) = 0 et ln ( e ) = 1 où e = 2,71828182846 ….

III°/ Représentation graphique de la fonction ln :

IV°/ Propriétés de calculs de la fonction ln :

1°/ Calcul de la dérivée de la fonction ln dans

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