Devoir de maths.

EXERCICE 1

Partie A : Loi exponentielle

P (X < 1) = 1-e^(-2*1) ≈0,8647

P (X > 2) = e^(-2*2) ≈0,0183

P (0,5 < X < 0,75) = e^(-2*0,5) - e^(-2*0,75) ≈0,1447

(0,8647 + 0,0183 + 0,1447) / 3 ≈ 0,3426

En moyenne le temps moyen entre les arrivées des clients est environ 0,3426.

Pour tout « a » ∈ [0, +∞ [on a :

P (X > a) = e^(-xa)

P (X > a) = e^(-2*0,5) ≈0,3679

Partie B : Loi de Poisson

ʎ = 2, P (X = 0) ≈ 0,1353

ʎ = 2, P (X = 3) ≈ 0,1804

ʎ = 2, P (X ≤ 2) ≈ 0,6767

Moyenne = (0,1353 + 0,1804 + 0,6767) / 3 ≈ 0,3308

Partie C : Processus aléatoire

0,8

0,2 0,3

(V= Viens au magasin, V ! = Viens pas) 0 ,7

M = (■(0,2&0,8@0,7&0,3))

P1 = (1 0)

P2 = P1 * M = (0,2 0,8)

P3 = P2 * M = (0,6 0,4)

P4 = P3 * M = (0,4 0,6)

P5 = P4 * M = (0,5 0,5)

P6 = P5 * M = (0,45 0,55)

P7 = P6 * M = (0,475 0,525)

P8 = P7 * M = (0,4625 0,5375)

P9 = P8 * M = (0,4688 0,5313)

P10 = P9 * M = (0,4657 0,5344)

Cela signifie, que la probabilité pour que le client vienne le dixième jour est de ≈ 0,4657.

Si Pn est l’état probabiliste du système n et Pn + 1 celui à l’instant n + 1 alors l’état probabiliste est dont :

Pn + 1 = Pn * M

EXERCICE 2

Partie A : Calcul « à la main »

Les racines quatrièmes de l’unité sont Z^4=1

S4 = (1, e^(iπ/2), -1, e^(i3π/2)) = (1, i, -1, -i)

N=4

X0 = ∑_(k=0)^3▒〖x^k 〖*i〗^(-k*0) 〗 avec ω = e^(2iπ/n) = e^(2iπ/4)= i

=∑_(k=0)^3▒〖x^k*1〗

= x0 + x1 + x2 + x3

...