Cned Math Devoir 2

Exercice 1 :

D y = 4/3x – 5/3

1) La droite D passe par l’origine du repère.

Faux car l’ordonné à l’origine est  -5/3 , c'est-à-dire – 1,66

2) La droite D passe les points A (1/4 ; -4/3 ) et B (5 ; 5)

Ya = 4/3 x 1/4 – 5/3 = 4/12 – 5/3

4/12 – 20/12 = 16/12 = -4/3

La droite D passe bien par le point A (1/4 ; -4/3 )

Yb = 4/3 x 5 – 5/3

=20/3 – 5/3 = 15/3 = 5

La droite D passe bien par le point B (5 ; 5)

3) 4x – 3y = -5 permet de construire une droite parallèle à D

4x + 5 = 3y

3y = 4x + 5

Y = 4/3x + 5/3

L’équation 4x – 3y =-5 permet de construire une droite parallèle à D car le coefficient directeur est égal à celui de l’équation de la droite D.

4)  Vrai. La droite d’équation y = -2x + 3 coupe D  au point de coordonnées (1,4 ; 0,2)

La droite D et la droite d’équation y= -2x + 3 sont sécantes car leurs coefficients directeurs sont différents.

Donc

Y =4/3x – 5/3 = -2x + 3

Pour D : y = 4/3 x 1,4 – 5/3

               Y = 4/3 x 14/10 – 5/3

                  = 56/30 – 50/30 = 6/30 = 0,2

Pour D’ : y = -2x + 3

                       -2x x 1,4 + 3

                       -2,8 + 3 = 0,2

5) La droite D et la droite y = 1,33x sont sécantes

Faux, elles sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur

4/3 = 1,33

6) La droite D coupe l’axe des abscisses en (1,25 ; 0)

4/3 x 1,25 – 5/3

4/3 x 125/100 – 5/3

500/300 – 500/300 = 0

Vrai. Pour x = 1,25   y = 0

Exercice 2 :

On donne : A(−2 ; −5), B(2 ; 1)et C(5 ; −1) dans un repère orthonormé.

1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

AB = √(xB - xA)2 + √(yB-yA)2

      = √(2-(-2))2 + √(1 - (-5))2

      = √(16 + 36)

     = √52 = 7,2111 cm

BC = √(xC - xB)2 + √(yB-yC)2

     = √(5 - 2)2 + √(1-(-1))2

    = √(9 + 4)

    = √13 = 3,605 cm

AC = √(xC - xA)2 + √(yc-ya)2

     = √(5 - (-2))2 + √(-1 -(-5))2

    = √(49 + 16)

    = √65 = 8,062 cm

D'après Pythagore, AC2 = AB2 + BC2

8,0622 = 7,2112 + 3,6052

65 = 52 + 13

Le triangle ABC est donc rectangle en C.

2) Déterminer les coordonnées du milieu M de [AC].

x M = (xA + xC) : 2

     = (-2 + 5) : 2

     = 3 : 2 = 1,5

y M = (yA + yC) : 2

     = (-5 + (-1) : 2

     = - 6 : 2 = -3

Donc M (1,5 ; -3)

3) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.

Pour que ABCD soit un rectangle, il faut que ses diagonales [AC]  et [BD] se coupent en leur milieu. Il faut donc que M soit aussi le milieu de [BD].

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