Devoir de mathématiques

Présentation : 1 point                                                Samedi, 19 Mars 2016

Durée : 2h15min

Devoir sur table de Mathématiques

Exercice n°1 : dénombrement (7 points)

        Dans les classes de 1ère B d’un lycée, il y a 80 élèves dont 30 garçons. 69 élèves dont 24 garçons ont pour première langue l’anglais, les autres font de l’allemand en première langue.

1.  Complétez le tableau suivant :

1.  Complétez l’arbre suivant :

[pic 1]

1.  Vérifiez que les règles relatives à l’élaboration d’un arbre sont satisfaites

1.  Représentez la situation précédente à l’aide d’un arbre démarrant ainsi :

[pic 2]

Exercice n°2 : un problème d’Euler (5,50 points)

        Dans son ouvrage intitulé Introduction à l’analyse des infinis écrit en 1748, Euler pose le problème suivant :

« Un particulier doit 400 000 florins, dont il est convenu de payer tous les ans l’intérêt à 5% ; il acquitte tous les ans 25 000 florins ; on demande après combien d’années sa dette sera entièrement éteinte. »

        Il s’agit donc d’un emprunt à 5% d’intérêts annuels, et dont les remboursements annuels sont constants ; chaque année, les intérêts sont calculés sur la somme restante à rembourser.

Pour résoudre le problème :

1. On pose , la somme en florins qu’on supposera empruntée le 1er janvier 1748.[pic 3]

• Pour tout naturel n, on appelle  la somme restante à rembourser au 1er janvier de l’année (1748+n).[pic 4]

1. Expliquer pourquoi [pic 5]
2. Calculer le montant des intérêts pour l’année (1748+n) en fonction de [pic 6]
3. Déduire que pour tout naturel n, .[pic 7]

1. On pose  pour tout naturel n.[pic 8]

1. Montrer que la suite  est géométrique, de premier terme (-100 000), et de raison 1,05.[pic 9]
2. Exprimer  en fonction de n.[pic 10]
3. Déduire que, pour tout naturel n, .[pic 11]

1. La conclusion donnée par Euler est :

« Le nombre d’années sera un peu moindre que 33 ; c’est-à-dire qu’au bout de 33 ans, la dette sera non seulement acquittée, mais le créancier sera tenu de rendre 318,8 florins. »

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