Université internationale de Rabat Cycle préparatoire ECINE 2ème année TP de Mathématiques S3

 Université internationale de Rabat Cycle préparatoire ECINE 2ème année TP de Mathématiques S3

 Année 2017 - 2018 - 1 - Réalisé par : JBILOU Asma ENNAHBAOUI Mohammed

 TP1 Maple - cours

Plan tangent à une surface (nappe) - extrema

1. Équations du plan tangent (Rappels) :

1. Plan tangent à une nappe donnée par un paramétrage : {𝑥=𝑓(𝑟,𝑠) 𝑦= 𝑔(𝑟,𝑠)𝑧=ℎ(𝑟,𝑠)

On note 𝜇(𝑟,𝑠)=(𝑓(𝑟,𝑠),𝑔(𝑟,𝑠),ℎ(𝑟,𝑠))∈𝐼𝑅3 .

Si 𝑀0=𝜇(𝑟0,𝑠0) est un point régulier de cette courbe (à savoir les vecteurs 𝜕𝜇𝜕𝑟(𝑟0,𝑠0) et 𝜕𝜇𝜕𝑠(𝑟0,𝑠0)sont indépendants, autrement dit la matrice jacobienne en (𝑟0,𝑠0) est de rang 2), le plan tangent en 𝑀0 est donné par : 𝑴𝟎+𝑽𝒆𝒄𝒕(𝝏𝝁𝝏𝒓(𝒓𝟎,𝒔𝟎),𝝏𝝁𝝏𝒔(𝒓𝟎,𝒔𝟎) )

2. Plan tangent à une nappe cartésienne : 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)

L’équation du plan tangent en 𝑀0=(𝑥0,𝑦0,𝑧0 =𝑓(𝑥0,𝑦0)) est donnée par : 𝒛=𝝏𝒇𝝏𝒙(𝒙𝟎,𝒚𝟎) (𝒙−𝒙𝟎)+𝝏𝒇𝝏𝒚(𝒙𝟎,𝒚𝟎) (𝒚−𝒚𝟎)+ 𝒛𝟎

3. Plan tangent à une nappe cartésienne implicite : 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=0

L’équation du plan tangent en un point régulier 𝑀0=(𝑥0,𝑦0,𝑧0) (à savoir 𝒅𝒇(𝑴𝟎)≠𝟎) est donnée par : 𝝏𝒇𝝏𝒙(𝒙𝟎,𝒚𝟎,𝒛𝟎) (𝒙−𝒙𝟎)+𝝏𝒇𝝏𝒚(𝒙𝟎,𝒚𝟎,𝒛𝟎) (𝒚−𝒚𝟎)+𝝏𝒇𝝏𝒛(𝒙𝟎,𝒚𝟎,𝒛𝟎) (𝒛−𝒛𝟎)=𝟎

On voit que c’est bien le plan passant par 𝑀0 et orthogonal au vecteur gradient grad(f)( 𝑴𝟎).

2. Position par rapport au plan tangent et extrema d’une nappe cartésienne :

Notation de Monge : Soit 𝑓une fonction de classe 𝐶2sur un ouvert 𝑈 de 𝐼𝑅2à valeurs dans 𝐼𝑅,𝑎∈𝑈, on pose : 𝒑=𝝏𝒇𝝏𝒙(𝒂) 𝒒=𝝏𝒇𝝏𝒚(𝒂) 𝒓=𝝏𝟐𝒇𝝏𝒙𝟐(𝒂) 𝒔=𝝏𝟐𝒇𝝏𝒙𝝏𝒚(𝒂) 𝒕=𝝏𝟐𝒇𝝏𝒚𝟐(𝒂)

Formule de Taylor : Avec les hypothèses ci-dessus, si ℎ=(ℎ1,ℎ2) tel que 𝑎+ℎ∈𝑈∶ Université internationale de Rabat Cycle préparatoire ECINE 2ème année TP de Mathématiques S3

Année 2017 - 2018 - 2 - Réalisé par : JBILOU Asma ENNAHBAOUI Mohammed

𝒇(𝒂 + 𝒉) = 𝒇(𝒂) + 𝒑 𝒉𝟏 + 𝒒 𝒉𝟐 + 𝟏𝟐 (𝒓 𝒉𝟏𝟐 + 𝟐 𝒔 𝒉𝟏 𝒉𝟐 + 𝒕 𝒉𝟐𝟐) + 𝒐( 𝒉𝟏𝟐 + 𝒉𝟐𝟐) Autrement dit : 𝒇(𝒂 + 𝒉) = 𝒇(𝒂)+< 𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒇)(𝒂), 𝒉 > +𝟏𝟐 < 𝒉𝒆𝒔𝒔(𝒇)(𝒂). 𝒉 , 𝒉 > + 𝒐( 𝒉𝟏𝟐 + 𝒉𝟐𝟐)

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