Cours de mathématiques

Loi Normale

1- Rappels:

Un schéma de Bernoulli B(n ; p)est constitué de n répétitions dans des conditions indépendantes d’une expérience aléatoire à deux issues ,pétant la probabilité d’un succès.

Considérons un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

On définit une variable aléatoire X à laquelle on associe le nombre de succès.

Exemple. Je joue 30 fois de suite à pile ou face. Je gagne à chaque pile. On a ainsi B(30;0,5).

p(X=10) est la probabilité de faire 10 piles. Si vous reprenez votre cours de première sur lal oi binomiale (ce qui n’est pas obligatoire)voustrouverez p(X=10)≃0,027.

Quand on représente la situation graphiquement, la courbe des p(X=k)obtenue est du type:

0,16

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0

0 5 10 15 20 25 30 35

2- Définition:

Plus n est grand, plus les points obtenus tendent vers unecourbe « en cloche »appelée aussi courbe de Gauss.

Par exemple B(300 ; 0,3), la courbe devient :

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0

0 50 100 150 200 250 300 350

Exemples de courbes de Gauss :

C’est la même courbe, plus ou moins écrasée, et centrée différemment.

Cette courbe est la courbe d’une fonction qu’on appelledensité de probabilité. Elle définit une nouvelle loi de probabilité qu’on appelleloi normale.

2- Caractéristiques de la loinormale:

Les deux paramètres qui définissent une loi normale sont :

◦ sonespérance, notéeμ (lu « mu»)

◦ sonécart-type,noté σ (lu »sigma»).

Remarque : au lieu d’espérance, on dit parfois moyenne (par exemple sur les tableurs).L’écart-typeest un paramètre de dispersion .

Formules à connaître par cœur :

3- Loi normale et aire:

p(a⩽X⩽b)est égale à l’aire bleue.

p(X⩽a)est égale à l’aire bleue.

p(X⩾a)est

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