Math cours suite

&                Suites

1. RAPPELS :

A. Définition d’une suite

Définition : une suite est une fonction dont l’ensemble de définition est  ou une partie de [pic 1][pic 2]

Les antécédents sont donc des nombres entiers, au lieu de les noter  on utilise la lettre [pic 3][pic 4]

Pour différencier ce type de fonction des autres, au lieu d’utiliser les lettres  on a tendance à utiliser plutôt [pic 5][pic 6]

Ainsi pour noter l’image d’un réel  par la fonction  on écrit [pic 7][pic 8][pic 9]

Pour noter l’image de  par la suite  on écrit ; mais pour les suites, on simplifie davantage en écrivant [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

On trouve alors soit  la fonction définie sur  par  dans ce cas  peut prendre toutes les valeurs possibles.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Mais si on écrit soit  la suite définie sur  par , dans ce cas on ne peut calculer que [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Exemple : Soit ( la suite définie par :  [pic 22][pic 23][pic 24]

Remarque :

Lorsque l’on parle de la suite , on notera  et lorsqu’on parle de l’image de  (qui est un nombre) on note [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

On dit que est le terme d’indice  de la suite ().[pic 29][pic 30][pic 31]

Il existe deux manières différentes de définir une suite

1. de manière explicite : dans ce cas on donne l’expression de  en fonction de .[pic 32][pic 33]

On a donc  [pic 34]

Exemples  .[pic 35]

Remarque on dit que  est le terme général de la suite ( en fonction de [pic 36][pic 37][pic 38]

2. Par récurrence : Dans ce cas on donne le premier terme (souvent  et  l’expression de  .[pic 39][pic 40]

On a donc  [pic 41][pic 42]

Exemples : Soit ( la suite définie par :[pic 43]

a.       [pic 44][pic 45]

b.  - 5 [pic 46][pic 47]

c.  [pic 48]

Remarque : Dans ce cas pour calculer un terme il faut connaître le précédent.

Le terme qu’on calcule est [pic 49]

Le terme précédent est [pic 50]

Quelque soit le mode de définition d’une suite on peut utiliser la calculatrice pour établir un tableau de valeurs d’une suite.

B. Monotonie d’une suite

Définition :

On dit qu’une suite  est croissante à partir d’un certain rang si pour tout [pic 51][pic 52][pic 53]

On dit qu’une suite   est décroissante à partir d’un certain rang si pour tout [pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57]

Pour étudier la monotonie d’une suite on étudie le signe de [pic 58]

Si  la suite  est croissante[pic 59][pic 60]

Si  la suite  est décroissante.[pic 61][pic 62]

Autre méthode possible :

Si pour tout entier  , alors on peut étudier le quotient .[pic 63][pic 64][pic 65]

Si  alors la suite  est croissante [pic 66]

Si  alors la suite est décroissante.[pic 67]

Dans le cas d’une suite définie de façon explicite avec  on peut étudier les variations de la fonction  La suite () a les mêmes variations que la fonction  sur [0 ; +[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

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