Cours suites prépa HECT 1

Chap. : Introduction dans le monde des suites.

I- Les suites (Rappels). Succession de nombres : Considérons la liste de chiffres 869225187647896785789245631445889622. On peut décider d’indexer cette liste en posant U(0)=8, U(1)=6, U(2)=9, etc. a) Remplir : U(5)=..... et U (10)=............ Nous avons ainsi définie la suite (Un) ; Son premier terme est U(0), noté U0 et vaut 8. Le rang de U(0) est 0. b) Il est possible de choisir une autre indexation en regroupant les nombres par deux chiffres. On note alors V1=86 , V2=92 puis V3=25, etc. Donner le rang n pour lequel Vn=89 pour la premiere fois.

Définition : On appelle suite , toute fonction dont l’ensemble de définition est une sous partie des entiers naturelles du type {n0 ;n0+1 ;n0+2 ;n0+3 ;… ;+∞ }. n0 est appelé le rang initiale de la suite .

Notation : On utilise habituellement les lettres u, v et w pour désigner une suite. u : {n0 ;n0+1 ;n0+2 ;n0+3 ;… ;+∞ } → les rééls n :→ u(n) Remarques : 1) Les suites sont des fonctions particulières car elles sont définies sur des entiers naturels. Pour souligner cette singularité, on note n la variable de ces fonctions et non x . Egalement, dans l’environnement des suites on ne note pas u(n) mais un . Ceci est le terme de rang n . Il ne faut pas le confondre avec la notation (un)n ou (un) qui se lit « la suite u de n ».

2) Les suites peuvent être définie par différentes manières. • Une succession de nombre : Voir ci-dessus • Une équation : Exemple : Un=n²+1 donc U3=........ • De manière récurrente : Exemple : Soit (Un) la suite définie à partir du rang 5 par les données suivantes Un+1 = 2 Un² – 1 avec U5=2 Déterminer U8 , puis 2 +nU en fonction de n U .

ATTENTION : • Ne pas confondre un–1 et un – 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! un–1 est le terme de rang n-1 alors que un – 1 est le terme de rang n privé de 1. • Ne pas confondre entre terme de rang n et le nième terme.

Exemple : on considère la suite des entiers naturels pairs. A tout entier n naturel, on associe son double. On a un = 2n Quel est le 4ème terme de la suite ? le nème ?

II-Le raisonnement par récurrence : Souvent dans le cadre des suites, nous avons à démontrer qu’une propriété est vraie pour tout n entier à partir d’un certain rang. Comme par exemple : « On définit la suite u par u 1 +n =2u n +1 pour n appartenant à IN* avec u1=1. Prouver que : 1 2*, − =∈∀ n nuINn ». Pour faire ce type de démonstration, une méthode est le raisonnement par récurrence , qui repose sur la méthodologie suivante : Pour démontrer par récurrence qu'une propriété P n relative à un entier n est vraie pour tout entier n 0 n≥ , on doit :

a) Démontrer que la propriété est vraie au rang 0 n .(Initialisation).

b) Démontrer que si l'on suppose vraie la propriété au rang n alors elle est encore vraie au rang (n+1) ( Hérédité).

M.Gamondès HECT1

Application : Montrons que 1 2*, − =∈∀ n nuINn . 1) Je nomme la propriété que je souhaite prouver à partir du rang où elle est définie. Notons H n : 1 2" − = nnu » pour n entier appartenant à IN*. 2) Je prouve l’initialisation. Montrons que H1 est vraie.

3) Prouvons l’hérédité. Dans ma démonstration, j’écris la phrase : « Supposons que H n est vraie, montrons que H 1 +n est encore vraie. » Vous pouvez faire un tableau de Synthèse pour vous aidez :

Acquis A prouver 1"2" −= n nu d’après Hn.

u 1 +n =2u n +1 pour n , IN∈ d’après l’énoncé. u1=1 d’après l’énoncé.

1"2" 1 1 − = ++ n nu

Autre application : Montrer par récurrence la suite u est positive sachant que u 0 =1 et u 1 +n =5u n +2

III- Suites de référence. A- Les suites arithmétiques. a) Définition : Définition : Soit r un nombre réel. La donnée d’un terme initiale un0 et de la relation "pour tout entier naturel n ≥n0, un+1 = un + r " définissent une suite (un).Une telle suite est appelée Suite arithmétique de raison r et de rang initial n0.

Illustration :

Exemple : La suite des nombres impairs 1;3;5;7;..... est arithmétique de raison 2.

Méthodologie pour montrer ou pas qu’une suite est arithmétique : 1) Je calcule les 3 premiers termes de la suite et je constate si la suite est arithmétique ou pas (Pour ce faire, je calcul la différence entre les termes deux à deux consécutifs ( n n uu −+ 1 ), si elle est constante, la suite semble être arithmétique. 2) Pour prouver que la suite u est arithmétique, je regarde si u 1 +n =u n +cste ou si u 1 +n -u n =cste, la raison correspondant à cette constante. Application : 1) La suite (Un) définie par U0=1 et Un+1=3×Un+1. Est-elle arithmétique?

2) La suite (Un) définie par Un = 1)² ( 4 1 1)²( 4 1 −−+ nn . Est-elle arithmétique?

Propriétés : Propriété : Soit (un) la suite arithmétique de premier terme un0 et de raison r alors : Pour tout naturel m≥ n0, et tout naturel p≥ n0 : um = up + (m − p).r

Rem : (m-p) correspond à l’écart entre les deux rangs

U1 U2

U0

U3 U4

+ r

+ r + r

+ r

M.Gamondès

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