Cours de Maths Financière : les intérêts

Généralités

Lorsqu'on place un capital sur un compte rémunéré, ce capital produit des intérêts. On peut envisager deux types d'intérêts, les intérêts simples ou les intérêts composés.

Définition:Intérêts simples

Un capital produit des intérêts simples sur une période lorsque les intérêts sont uniquement produits sur ce capital. C'est à dire si les intérêts ne produiront pas eux même des intérêts pour la période suivante.

• C'est le cas essentiellement pour des placements inférieurs à 1 an.

Le taux d'intérêt est alors appelé taux nominal (ou encore taux facial).

• Ce type d'intérêts est peu utilisé, on envisage plus fréquemment des intérêts composés.

Définition:Taux proportionnel

Dans le cas d'un placement à intérêts simples, le taux proportionnel périodique est simplement une fraction du taux nominal.

Formule de calcul :

[pic 1]

Exemples :

• le taux proportionnel sur une période de 15 jours d'un taux nominal de 10% l'an est [pic 2] soit 0,4%

• Dans un placement au taux nominal annuel de 5,1%, le taux proportionnel mensuel est de 0,051/12=0,00425 soit 0,425%

Remarque:

Dans le cas d'un placement à intérêts simples, les valeurs successives du capital disponible sont en progression arithmétique, c'est à dire que ce sont les termes d'une suite arithmétique.

Définition:Intérêts composés

Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque période et qu'ils produisent par conséquent des intérêts lors des période suivantes.

• C'est le cas par exemple lorsqu'on place un capital sur un livret A, un livret pour le Développement Durable (LDD), un compte épargne logement, un plan épargne logement, etc ...

Exemple:Livret à 2,5 %

A sa naissance, les parents de Simon on placé un capital de 1 000 € sur un livret d'épargne rémunéré à 2,5% l'an. Lorsque Simon aura 18 ans, il disposera d'un capital de [pic 3] €

Définition:Taux équivalent

Dans le cas d'un placement à intérêts composés, le taux équivalent périodique est le taux qui appliqué successivement à toutes les périodes équivaut au taux global sur l'ensemble des périodes«  (voir taux d'évolution global / taux moyen équivalent dans le chapitre 1) ». Ce taux équivalent s'appelle également taux actuariel dans le langage de la finance.

Formule de calcul :

[pic 4]

Exemples :

• Le taux équivalent mensuel d'un taux annuel de 10% est [pic 5] soit 0,8%
• Le taux équivalent pour une quinzaine d'un taux annuel de 12% est [pic 6] soit environ 0,47%

Remarque:

Dans le cas d'intérêts composés, les valeurs successives du capital sont en progression géométrique. C'est à dire que ce sont les termes d'une suite géométrique

Valeur actuelle

Définition:Valeur actuelle

Dans le cadre d'un placement financier, la valeur actuelle ( [pic 7] ) est la valeur du capital qu'il faut placer pour espérer une valeur future donnée à un taux donné.

Méthode:Formule de calcul

Soit [pic 8] la valeur future (espérée) d'un capital, [pic 9] le taux de rémunération par période du placement, [pic 10] le nombre de périodes de placement ; on a :

[pic 11]

EXO

Valeur actuelle

J'aurais besoin de 12 000 € pour restaurer la toiture de ma maison dans 5 ans.

Question

Quel capital dois-je placer aujourd'hui sur mon plan épargne logement rémunéré à 2,5% l'an pour disposer de cette somme dans 5 ans ?

Indice

Il s'agit bien de calculer la valeur actuelle de mon capital futur de 12000 €.

Solution

Appelons [pic 12] la valeur future de mon capital et [pic 13] sa valeur actuelle, appelons [pic 14] le taux de rémunération du placement et [pic 15] le nombre de périodes du placement.

On sait que [pic 16] car c'est un placement à intérêts composés. (voir suites géométriques)

On en déduit [pic 17] ou encore [pic 18]

Numériquement, [pic 19]

Il faut donc que je place environ 10 607 € aujourd'hui pour disposer d'environ 12 000 € dans 5 ans.

Valeur Actuelle d'une suite d'annuités

Situation

Une PME achète un matériel à crédit début janvier 2015 auprès de l'un de ses fournisseurs. Les caractéristiques du crédit sont les suivantes : taux annuel "tout compris" 4,2%, paiement en trois annuités égales à 2 500 € à payer fin décembre chaque année.

Pour déterminer la valeur actuelle [pic 20] de cette suite d'annuités, il convient de sommer les valeurs actuelles de chacune des trois annuités.

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