PRINCIPAUX MODELES STATISTIQUES POUR LES VARIABLES DISCRETES

COURS STATISTIQUES – PROBABILITES - LOIS

CHAPITRE LES PRINCIPALES DISTRIBUTIONS THEORIQUES

Les modèles statistiques (appelés encore distributions théoriques ou lois statistiques) sous forme de formules mathématiques permettent de faire de la statistique descriptive mais également de la prévision.

SECTION 1) PRINCIPAUX MODELES STATISTIQUES POUR LES VARIABLES DISCRETES

1-1 LA LOI BINOMIALE

Caractéristiques :
- Loi discontinue (la variable ne peut prendre que des valeurs entières positives ou nulles).
- n épreuves élémentaires indépendantes et de même type.
- Un même événement peut apparaître plusieurs fois au cours de chaque épreuve.
- Constance de la probabilité p d'apparition de l'événement élémentaire.( q étant égal à 1-p)
- L'événement final recherché est la réalisation de X=k événements élémentaires au cours de n épreuves.

[pic 1]

Loi binomiale = L(X) = B(n,p)

Propriétés :

                L(X1) = B(n,p) |
                L(X2) = B(n',p) | => L(X1 + X2) = B(n+n',p)

- L'espérance mathématique :

E(X) = np

- Variance et écart-type :

V(X) = npq

- A partir du quotient des probabilités associées à 2 valeurs successives, on tire la relation récurrente suivante :

[pic 2]

Si au lieu de définir un nombre absolu d'événements (k), il est défini une fréquence d'apparition de ceux-ci, on parle alors de loi binomiale en proportion. La variable n'est plus X mais X/n (notée fn) et la probabilité k devient k/n (notée f).

[pic 3]

L(X) = L(fn)                et E(fn) = p                et V(fn) = p(1-p)/n

SECTION 2 PRINCIPAUX MODELES CONCERNANT LES VARIABLES CONTINUES


2-1 LA LOI NORMALE (ou de LAPLACE-GAUSS)

2-11 Présentation

L(N) = N([pic 4],[pic 5])

Il existe des tests (cf ch5) qui permettent de vérifier que la variable suit une loi normale.

Une table a été constituée pour une variable aléatoire T, appelée variable centrée réduite, qui suit une loi normale de paramètres [pic 6]=0 et E=1.
Toute variable X doit donc être transformée en 1 variable T ainsi :

T = (X-[pic 7])/[pic 8]

Une table A fournit la probabilité P(T>ti) avec ti>0
Une table B fournit la probabilité P(Ti) avec ti>0

Du fait de la symétrie parfaite de la variable T, si la valeur de la variable t est < 0, il s'ensuit que P(T < -t) = P(T > t) et P(T > - t) = P(T < t).

Une composition des 2 tables permet de définir la probabilité (x1< X < x2)

Une table C fournit inversement la valeur ti (et donc xi) qui permet d'obtenir la probabilité p.

2-12 Principales Propriétés

Définition mathématique :

        - Fonction (ou courbe) de densité de probabilité (dérivé de la fonction cumulée de répartition) :

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