Variables aléatoires discrètes

Fiche n°1 – Variables aléatoires discrètes

En statistique on distingue les variables discrètes des variables continues :

Une variable discrète est une variable qui va prendre une valeur que dans un ensemble d’éléments. La variable discrète va prendre un nombre fini de valeurs.

Une variable continue va prendre ses valeurs dans un intervalle donné.

Soit X une variable aléatoire définie sur l'univers . X prend un nombre fini de valeurs x1, x2…… xn avec la probabilité p1, p2, ……. pn.

La loi de probabilité ou distribution de probabilité de X

C’est la fonction qui a xi associe pi.

X = xi

x1

x2

…..

xi

….

xn

total

i est compris entre 1 et n

pi est comprise entre 0 et 1

P(X=xi)

p1

p2

pi

pn

1

La fonction de répartition de X F(X)

F(X) = P[X<xi] : c'est une fonction en escalier croissante de 0 à 1.

Exemple :

X = xi

0

1

2

3

4

P(X=xi)

0,1

0,2

0,5

0,1

0,1

F(X)= P (X≤xi)

0,1

0,3

0,8

0,9

1

Espérance mathématique

Elle correspond à la moyenne des résultats : elle exprime la valeur que chacun des membres d’un ensemble aurait s’ils étaient tous identiques, sans pour autant changer le montant total (la quantité totale, par exemple le nombre d’élèves d’une classe).

E(X) = .

Dans l'exemple E(X) = 0 x 0.1 + 1 x0.2+ 2x0,5 + 3x0.1 + 4 x 0,1 = 1.9

E(aX+b) = a E(X) + b avec a et b, 2 nombres réels

E (aX+bY) = a E(X) + bE(Y) avec X et Y 2 variables aléatoires

E(X Y) = E(X) x E (Y) si X et Y sont indépendantes.

Variance et écart type

La variance mesure la moyenne de l'écart au carré de valeurs par rapport à la moyenne. L’écart type correspond la racine carré de la variance.

Variance : V(X) = Écart type : σ (X) =

Dans l'exemple V(X) = 4,7- 1,9² = 1,09 σ(X) = = 1,044

Plus l'écart type est grand, plus il y a de risque d'obtenir un résultat différent de la moyenne.

Pour choisir entre différents projets, on choisit celui pour lequel l'espérance mathématique de gain est la plus élevée ou celle dont le coût est le moins élevé mais cette comparaison doit être nuancée par le calcul des écarts types pour comparer les risques.

V (aX + b) = a² V(X) + 0 avec a et b 2 nombres réels

V (aX + bY) = a² V(X) + b²V(Y) avec X et Y deux variables aléatoires indépendantes

V (X+Y) = V(X) + V(Y) avec X et Y deux variables aléatoires indépendantes

V (X-Y) = V(X) + V(Y) avec X et Y deux variables aléatoires indépendantes

Exercices

Ventes de voitures

Un représentant a comptabilisé le nombre hebdomadaire de voitures vendues durant 50 semaines et obtient la série statistique suivante :

nombre de voitures vendues

0

1

2

3

4

Nombre de semaines

2

8

30

5

5

Les perspectives économiques donnent lieu à penser qu'il n'y aura pas d'évolution du marché à moyen terme, on peut définir la variable aléatoire discrète X.

X : nombre de voitures que l'on peut vendre en une semaine. L'univers de X est {0, 1, 2, 3, 4}

Déterminer la loi de probabilité de X

xi : nombre de voitures vendues

0

1

2

3

4

total

Pi = P (X= xi)

2/50

8/50

30/50

5/50

5/50

1

xi pi

0

0,16

1,2

0,3

0,4

2,06

Xi² pi

0

0.16

2,4

0,9

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