Cours de mathématiques sur l'ensemble

exemple:

R^3= R²xR=RxR²

       ={(x, y, z); x appartient R, y appartient à R et z appartient à R}

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Application d'un ensemble E dans un ensemble F.

Défintion: On appelle application ou synonyme fonction de l'ensemble E dans l'ensemble F, toute correspondance qu'à tout élément de l'ensemble E associe un et un seul élément de l'ensemble F.

Exemple: prenons E=R et F=R

          Soit f:E -> F     :    x --> x²

g:R+ --> R:   x --> √x    où R+= {x appartient R; x =>0}

ont aussi une application.

h: R+ -->R    :   x--> -√x

est aussi une application.

Défintion: Soit E un ensemble. Soit F un ensemble. Soit f:E -->F une application de E dans F. On dit que f est injective ssi pour tout x1 appartenant à E, pour tout x2 appartenant à E   :   f(x1)=f(x2= et donc <=> x1=x2.

Contre exemple: Soit f:R -->R  :  x-->x²  soient x1 appartenant R et x2 appartenant R tels que f(x1)=f(x2) càd x1²=x2². x1²=x2² <=> x1²-x2²=0 <=> (x1-x2)(x1+x2)=0<=>x1=x2 où x2=x1. Donc f(x1)=f(x) -/-> x=x Donc f n'est pas injective

Définition: Soient E et F deux ensembles et f: E-->F une application de E dans F. Soit A un sous-ensemble de E. On appelle restriction de f un sous ensemble A, l'application f:A -->F  : x--> f(x).

exemple: Soit E=R et soit F=R. Soit f=R -->R  :  x--> x².
Soit A  le sous-ensemble de E=R  :  A=R+ {x appartient R; =>0}.
f│R+ : R+ -->R  : x-->x².

Si (f│R+) (x1)=(f│R+) (x2), on a x1²=x2² mais aussi x1=>0 et x2=>0
<=> (x1-x2)(x1+x2)=0 et x1=>0 et x2 =>0
<=> x1=x2 ou x1=-x2 avec x1=>0 et x2=>0

Mais si x1=-x2=<0 <=> x1=-x2=0 <=> x1=0 et x2=0 --> x1=x2

Donc (f│R+) (x1) = (f│

Définition: Soit E un ensemble. Soit f une application de E dans F (on écrit f:E -->F). On dit que F est surjectie ssi pour tout y appartient F E à l'envers x appartient à E tel que f(x)=y

Contre exemple: Soit E=R, soit F=R et soit f: E -->  :  x--> x².

Cette application n'est pas surjective car pour tout x appartenant à R: x²=x*x =>0. Donc si y appartient à F=R, et ssi y<0, E à l'envers barré x appartient à E: f(x) =y.

Définition: Soient E t F deux ensembles et f:E --> F.

Soit E' un ensemble contenant E et f' : E' --> F.

On dit que f' est un prolongement de f ssi pour tout x appartenant à E:  f'(x) =f(x) .

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Exemple: reprenons l'exemple précédent

Considérons E'=E U {i x, x appartient à R}
Soit f':  E' --> F  :  Rx --> x².
Soit y appartient F=R. Posons x=√ ssi y=>0 et x=i√│y│ si y<0.
f' (√y)= (√y)² =y  ssi y=>0 et f' (i√│y│)= (i√│y│)²= i² │y│= -│y│=y
Donc pour tout y appartenant F=R, on a pu trouver un x' appartenant E': f'(x')=y
Donc f' est surjective; n dit encore que c'est une surjective de E' sur F.

De plus f' est prolongement de f puisque pour tout x appartenant à E=R : f'(x) =f(x)

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