Grand Oral Maths/HGGSP

Dans quelles mesures l'apparition de la notion d’infini permet-elle d’étudier les limites de suites et de fonctions?

La notion d’infini est pensée depuis l’antiquité, tout d’abord l’infini est associé à Dieu ou bien à une notion métaphysique que l'esprit humain ne pourrait jamais concevoir entièrement. L’un des premiers mathématicien à étudier l’infini est le mathématicien Zénon qui tente de démontrer l’impossibilité physique de l’infini. Il apparaît alors son célèbre  paradoxe de la flèche qui, selon lui, ne devrait jamais pouvoir atteindre sa cible. En effet, on peut toujours diviser son parcours restant entre l’arc et la cible par deux et il restera toujours une portion de chemin à parcourir (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32), à l’infini. A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie selon Zénon. Dans la mesure où il faut un nombre infini d’étapes pour franchir la distance entre l’arc et la cible,

Zénon conclut à l’impossibilité à la flèche d’atteindre sa destination en un temps fini. Ce paradoxe peut être défini par la somme : S= ½+ ¼+⅛… on peut calculer 2S = 1+½ +¼ +⅛  on a donc 2S= 1+ S ce qui donne S=1.

Zénon pensait que la somme infinie de nombre tend vers l’infini S tend vers 1. Le principe des suites et des limites apparaît alors ici.

Nous pouvons donc nous demander en quoi la notion d’infini est nécessaire à l’étude des limites de suites ou de fonctions ?

Nous pouvons donc nous demander si cette notion d’infini est nécessaire dans le cadre des limites pour le calcul de celle-ci ou leur mise en application. Afin d’évaluer l’importance, nous pouvons commencer par savoir ce que nous pouvons faire sans cette notion.

 Dans le cadre des suites : dire que la suite (u) a pour limite L signifie que tout intervalle ouvert contenant L, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Il en va de même pour les fonctions : pour tout intervalle I  contenant L , il existe un réel m tel que si x>m, alors f(x) appartient à I.

Premièrement sans la notion d’infini, il est seulement possible de faire tendre x ou n vers un réel, par conséquent la limite sera elle aussi égale à un réel. Par exemple, pour la fonction inverse (1/x) on peut faire tendre x vers 0 mais le résultat serait donc indéterminé et on peut se dire que si on fait tendre x vers des nombres de plus en plus grands la limite est 0.

Ceci oblige que si nous voulons savoir la limite de la fonction ou de la suite, nous sommes dans l’obligation de remplacer n ou x par des chiffres de plus en plus grands ou de plus en plus petits (- ou +) pour obtenir un résultat. Ce résultat implique alors qu’il y a eu un calcul et que l’on ne peut pas le « généraliser », sur un nombre indéfinis de valeurs de x ou de n. L’étude des limites paraît alors pratiquement impossible, il est donc bien nécessaire d’introduire la notion d’infini.[pic 1][pic 2]

Ainsi pour les suites : dire que la suite (u) a pour limite +∞ signifie que pour tout réel A, l’intervalle ]A ;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, et dire que la suite (u) a pour limite -∞ signifie que pour tout réel A, l’intervalle ]-∞ ;A[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

La définition est similaire pour les fonctions : dire que la fonction f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ signifie que pour tout intervalle de la forme [A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand, et de même pour -∞.

Pour les suites, si l’on fait tendre n vers +∞ on peut alors déterminer si la suite est convergente ou divergente. Par exemple, la suite 1/n a pour limite 0 quand n tend vers +∞, elle est donc convergente et la suite n² a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ donc elle diverge. De plus, toute suite croissante non majorée a pour limite +∞ et toute suite décroissante non minorée a pour limite -∞, et inversement toute suite croissante majorée converge et toute suite décroissante minorée converge. Il est aussi possible de déterminer la limite d’une somme de deux suites, mais aussi le produit et le quotient de celles- ci.

Pour les fonctions, si l’on fait tendre x vers ±∞, on peut alors déterminer si la fonction possède une asymptote horizontale, c’est à dire que la droite d’équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de +∞ ou -∞. Par exemple, la fonction exponentielle (e) a pour limite 0 quand x tend vers -∞, la droite d’équation y = 0 est donc une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de -∞. On peut aussi déterminer si la courbe possède une asymptote verticale, c'est-à-dire que la droite d’équation x=a est une asymptote verticale à la courbe au voisinage de a. Par exemple, la fonction -2+(1/x)  quand x tend vers 0- a pour limite -∞ et +∞ quand x tend vers 0+ , la droite d’équation x = 0 est donc une asymptote verticale à la courbe au voisinage de 0. Enfin tout comme pour les suites, il est possible de réaliser des opérations sur les limites, c'est-à -dire connaître la limite de la somme, du produit ou du quotient de deux fonctions.

 Enfin, il est possible de comparer les limites que ce soit par le théorème de comparaison, ou avec le théorème des gendarmes. Par exemple, si la fonction f(x)≤g(x) et que f(x) a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ alors on sait que la limite de g(x) est +∞ quand x tend vers +∞. Ainsi, la notion d’infini est indissociable des limites comme elle permet soit de faire tendre n ou x vers cette valeur, soit c’est le résultat de la limite qui est égale à celle-ci. Cette notion permet aussi de connaître plus de résultat possible pour les limites de sommes, de produits ou de quotients de deux suites ou fonctions. Il ne faut cependant pas oublier que l’impossibilité de définition qui entoure cette notion engendre parfois l’apparition de formes indéterminées pour les opérations sur les limites, ce qui obligent de transformer la suite ou la fonction en amont.

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