Grand oral de maths

Oral de Maths :

Et si les chiffres pouvaient parler ? Imaginez un outil mathématique capable de révéler les secrets les mieux dissimulés, les manipulations les plus sournoises. Cet outil mathématique c’est la loi de Benford et je vous invite à découvrir comment celle-ci constitue une puissante arme contre la fraude fiscale.

Les nombres que l’on rencontre dans la vie quotidienne que ce soit pour mesurer la population des villes, les distances entre Etoiles, ou les prix apparaissant sur les produits d’un grand supermarché́ obéissent à une loi assez inattendue : la loi de Benford  .En effet dans ces séries, la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 1 est supérieure à la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 2, elle-même supérieure à la proportion de nombres dont le premier chiffre significatif est 3, et ainsi de suite.

La loi de Bedford indique précisément que dans un contexte général, et sans raisons particulières opposées, les probabilités de rencontrer les différents chiffres en tête des nombres sont respectivement :

p(1) = 30,1 %, p(2) = 17,6 %, p(3) = 12,5 %, p(4) = 9,7 %, p(5) = 7,9 %, p(6) = 6,7 %, p(7) = 5,8 %, p(8) = 5,1 %, p(9) = 4,6 %.

Le premier à mettre en évidence ce phénomène est l’astronome Newcomb en 1881, dont les travaux seront repris par Benford. Celui s’étonnait que les tables de logarithme (utilisés l’époque pour calculer les multiplications en les simplifiant en addition) se déchiraient plus vite au niveau des premières pages que des dernières.

A l’époque les gens n’avaient pas de calculatrices ou des ordinateurs pour effectuer les calculs compliqués et utilisaient donc les tables de logarithmes.

Par exemple, pour multiplier/diviser deux grands nombres ensemble, au lieu de faire une longue multiplication, on cherchait les logarithmes de leurs nombres dans un livre de tables de logarithmes, on les additionnait puis on convertissait la réponse en un nombre régulier. Cela évitait beaucoup de perte de temps avec les longues multiplications.

Ainsi pour multiplier deux nombres il suffit d’additionner leur logarithme

Ex : 10 fois 100

Log(10) + log(100)

1 + 2 = 3

L’explication avancée par Newcomb est que les tables de logarithmes étaient plus abimées au début qu’à la fin parce que leurs utilisateurs rencontraient plus souvent des nombres commençant par 1 ou 2 que par 8 ou 9. Il propose alors ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de Benford dans laquelle la fréquence d’apparition de chacun des premiers chiffres possibles est justement décrite à l’aide de la fonction logarithme :

La probabilité qu’un chiffre N soit le premier chiffre d’un nombre quelconque est tiré de cette formule

pN= log (N+1) -log N

[pic 1]

La loi de Benford peut sembler n’être qu’une curiosité anecdotique cependant cette loi s'applique à diverses données, y compris les chiffres financiers tels que les montants de transactions, les revenus, les dépenses, etc. Elle peut être utilisée pour détecter les fraudes fiscales en comparant les distributions de chiffres attendues selon la loi de Benford avec les distributions réelles dans les données fiscales.

...