Grand oral maths : Comment les maths ont-elles domptés l’infini ?

Comment les maths ont-elles domptés l’infini ?

Bonjour à tous, je m’appelle Théo Cantillon, je viens d’avoir 17 ans et aujourd’hui, pour mon grand oral on va parler de l’infini. L’infini il y a plusieurs manières de l’envisager suivant qu’on prend le point de vue du mathématicien, du physicien ou bien du philosophe. Dans cet oral je ne vais pas avoir le temps de parler de tout ça à la fois, donc nous allons nous concentrer sur un aspect particulier qui est l’infini en mathématiques et plus précisément les ensembles infinis. Nous allons donc nous poser comme question : comment les maths ont-elles domptés l’infini ? Dans un premier temps je vais parler et vous expliquer les ensembles en mathématiques, puis dans un second temps je vais vous expliquer l’hôtel de Hilbert.

I- Les ensembles

En mathématiques il y a plusieurs manières d’approcher le concept d’infini et une des manières les plus élémentaires est celle de la théorie des ensembles. En mathématiques on manipule souvent des ensembles, c’est-à-dire des collections de trucs et les trucs, on appelle ça des éléments. On peut faire des ensembles un peu de ce qu’on veut, des ensembles de nombres, de figures géométriques, de fonctions, etc... Une des choses les plus simples dont on puisse parler à propos d’un ensemble c’est sa taille, c’est-à-dire le nombre d’éléments qu’il contient et on appelle ça son cardinal. Un des tout premiers ensembles qu’on considère quand on fait des maths c’est celui des nombres entiers positifs, c’est-à-dire 0,1,2,3,4,5, etc... On appelle ça les entiers naturels qu’on note N. Nous pouvons donc se dire que le cardinal de l’ensemble N est l’infini. L’infini c’est le cardinal de l’ensemble des entiers naturels. On va considérer N donc, l’ensemble des entiers naturels et on va considérer à côté un autre ensemble, l’ensemble des entiers plus grands que 1, c’est-à-dire -1, 0, 1, 2,3, etc.… et cet ensemble on va l’appeler E. E est la même chose que N, on a juste ajouté un élément qui est le nombre -1. Le cardinal de E c’est aussi l’infini mais nous pouvons sentir qu’il est quand même plus grand que celui de N car nous commençons à 1.

Pour essayer d’y voir un peu plus clair on peut avoir recours à un petit jeu qui s’appelle l’hôtel de Hilbert.

II- l’hôtel de Hilbert

L’hôtel de Hilbert est une petite énigme qui a été proposée pour la première fois par le mathématicien David Hilbert. Imaginez qu’on ait un hôtel qui ait une infinité de chambres qui soient numérotées par les nombres entiers naturels, donc il y a la chambre 0, la chambre 1, la chambre 2, etc...  Supposons que toutes les chambres sans exception soient occupées chacune par une personne. Nous pouvons se poser comme question comment peut-on ajouté une nouvelle personne dans cet hôtel ? Il suffit de dire à chaque personne présente dans l’hôtel d’aller dans la chambre suivante. Celui qui est actuellement dans la chambre 0 va dans la chambre 1, celui dans la chambre 1 va dans la 2, etc… Avec ça tout le monde est relogé, sauf que la chambre 0 devient libre et le nouveau client peut s’y installer. On a établi une correspondance parfaite entre les personnes présentes et les chambres, on appelle ça une bijection. A partir du moment où l’on peut faire une bijection entre deux ensembles, les deux ensembles ont le même cardinal. De même si un plus grand nombre de personnes finis arrivent à l’hôtel, par exemple 40 personnes, il suffira de décaler tout le monde de 40 et donc nous pouvons les reloger.  Or, nous pouvons nous demander, qu’est-ce qu’il se passe si arrive à la réception un bus contenant une infinité de personnes. Et bien nous pouvons quand même s’en sortir pour reloger tout le monde. Il suffit de dire à ceux qui sont déjà dans l’hôtel de prendre la chambre dont le numéro est le double de leur chambre actuelle. Celui qui est dans la chambre 0 reste dans la chambre 0, celui qui est dans la 1 va dans la 2, celui qui est dans la 2 va dans la 4, etc…  Ainsi, toutes les chambres impaires sont libres pour les nouveaux arrivants et on vide le bus en remplissant l’hôtel.  Ce qu’on a fait là à nouveau c’est une bijection puisqu’on a pris l’ensemble des personnes présentes, toutes celles qui sont dans l’hôtel et toutes celles qui sont dans le bus et on leur a donné un nouveau numéro de chambre donc on a établi une bijection entre l’ensemble des personnes présentes et l’ensemble N des entiers naturels donc ça montre bien que l’ensemble des personnes présentes a un cardinal qui est aussi l’infini, le cardinal de N.

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