Suite (mathématiques)

Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 + nr .

Démonstration :

La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation

un+1 = un + r .

En calculant les premiers termes :

u1 = u0 + r

u2 = u1 + r = u0 ( + r) + r = u0 + 2r

u3 = u2 + r = u0 ( + 2r) + r = u0 + 3r

…

un = un−1 + r = u0 ( + (n − 1)r) + r = u0 + nr .

Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4

Considérons la suite arithmétique (un) tel que u5 = 7 et u9 = 19 .

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).

2) Exprimer un en fonction de n.

1) Les termes de la suite sont de la forme un = u0 + nr

Ainsi 5 0 uu r =+= 5 7 et

9 0 uu r =+= 9 19.

On soustrayant membre à membre, on obtient : 5r − 9r = 7 − 19 donc r = 3.

Comme u0 + 5r = 7 , on a : u0 + 5 × 3 = 7 et donc : u0 = −8 .

2) n 0 u u nr = + soit 8 3 n u n = − + × ou encore 3 8 n u n = −

2) Variations

Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r.

- Si r > 0 alors la suite (un) est croissante.

- Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.

Démonstration : un+1 − un = un + r − un = r.

- Si r > 0 alors un+1 − un > 0 et la suite (un) est croissante.

- Si r < 0 alors un+1 − un < 0 et la suite (un) est décroissante.

...