Grand oral mathématique

En quoi la convexité en mathématiques permet-elle d’optimiser certains marchés économiques ?

INTRO :         

En vue de mon projet professionnel, l’association de ma spécialité mathématiques au domaine économique me paraissait intéressante à évoquer, surtout autour du chapitre de la convexité. En effet, cette notion est très utilisée en mathématiques. Elle consiste à vérifier si les tangentes de la représentation graphique d’une fonction deux fois dérivable se situent au-dessus ou au-dessous de celle-ci. En finance mathématique, la convexité est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe. C’est pourquoi j’en suis venue à me questionner sur son rôle dans l'économie. Ainsi, nous pouvons nous demander en quoi la convexité en mathématiques permet-elle d’optimiser certains marchés économiques. Après avoir exposé la méthode mathématique qui permet d’identifier si une fonction est convexe ou concave autour d’une fonction de production, je vais expliquer comment la convexité est utilisée dans la recherche d’optimisation de certains marchés économiques.                                                                                                                                                                                                           

I- Convexité d’une fonction de production

L'identification des fonctions convexes et concaves nous permet d'analyser plus en profondeur le fonctionnement de certains concepts économiques et notamment ceux en lien avec l'analyse des fonctions de production. Celle-ci exprime la relation entre les facteurs de production et la quantité produite.

[pic 1]

Dans un modèle d’une économie agricole, la fonction de production montre comment la production de céréales dépend du facteur travail où 𝑥 représente le facteur de production (nombre de fermiers) et 𝑦 la quantité de céréales produite (en kilogrammes). Nous pouvons écrire la fonction de production de la manière suivante : 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Nous pouvons voir que la fonction est ici croissante. Sa tangente est représentée par la droite passant par le point A, représentant la productivité moyenne, c'est-à-dire, la quantité de céréales produite par fermier. Une analyse de la production moyenne peut être effectuée à intervalle régulier cad tous les 800x. Sur l’intervalle ]0;800], nous pouvons voir que la courbe est au-dessus de sa tangente. Elle est ainsi convexe et la productivité moyenne est égale à 625 kg au point A. A partir de là, la courbe se situera en dessous de la tangente. Elle est donc concave sur [800;2800] (comme indiqué sur le graphique) ce qui implique que la production moyenne est en baisse. En effet, si nous prenons la production moyenne du point B, nous pouvons voir qu’elle correspond à 458 kg.

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