Controle de gestion

1. Notions de calcul matriciel

Remarque préliminaire : les modes de calculs indiqués dans ce chapitre ont pour objectifs de comprendre la signification des opérations réalisées. De nombreuses calculatrices, et bien sûr les tableurs, permettent de réaliser ces calculs très rapidement.

1. Définitions

1. Présentation

M est une matrice rectangulaire (n,p). (on nomme le nombre de lignes avant le nombre de colonnes).

Si n = p, alors M est une matrice carrée d'ordre n

Si n = 1, alors M est une matrice ligne.

Si p = 1, alors M est une matrice colonne.

On note habituellement [pic 1] l'élément de la matrice M situé à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne.

1. Matrice unité (matrices carrées)

Une matrice unité est une matrice carrée dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, tous les autres éléments étant égaux à 0.

1. Matrice transposée

La transposée d'une matrice A, notée , est obtenue en interchangeant les lignes et les colonnes de la matrice.

1. Matrice symétrique (matrices carrées)

Une matrice carrée A est symétrique si

1. Égalité de deux matrices

Deux matrices sont égales si et seulement si :
        elles sont de même taille, c'est à dire qu'elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes,
        leurs éléments de mêmes indices sont égaux.

        Exemple :

1. Somme de matrices

1. Définition

Soit  deux matrices de même ordre; leur somme C = A + B est la matrice de même ordre obtenue en additionnant leurs éléments correspondants :
.

1. Exemple

L'entreprise CALCULMAT utilise trois produits A B et C dont le prix d'achat est donné par le tableau suivant (compte tenu des quantités commandées).

Soit P la matrice des prix extraite du tableau ci-dessus. Supposons une augmentation de prix, soit A la matrice des augmentations prévue, et P' la matrice donnant les nouveaux prix. Alors P' = P + A soit :

1. Propriétés

A + B = B + A        (commutativité)
(A + B) + C = A + (B + C)        (associativité)

1. Multiplication d'une matrice par un nombre réel

1. Définition

Soit  et  un nombre réel. Le produit de A par  noté A est obtenu en multipliant chaque élément de A par .

1. Exemple

Reprenons l'exemple de la matrice P donnant les prix des produits A, B et C. Si les prix doivent être augmentés uniformément de 20%, la matrice P' des nouveaux prix est obtenue par le produit 1,20 * P, soit :

1. Multiplication d'une matrice par une autre.

1. Définition

La multiplication d'une matrice (n,p) (n lignes et p colonnes) n'est possible qu'avec une matrice (p,m) (p lignes et m colonnes).

Présentation des calculs :

[pic 2]

1. Exemple

Au sein de l'entreprise CALCULMAT, deux ateliers utilisent les produits A, B et C. Les consommations de ces ateliers sont :

Soient P la matrice des prix définie précédemment, Q la matrice de consommation en quantité correspondante au tableau ci-dessus, le coût total C par atelier en fonction du niveau de prix se définie par le produit matriciel C = P * Q soit :

1. Propriétés :

(AB)C = A(BC)        (associativité)
AI = IA        (identité)
A(B + C) = AB + AC        (distributivité)
A(B) = (A)B = (AB)        

1. Calcul de sommes et de produits de matrices

1. Exercice 1

Soient les matrices :

1) Calculer A.B, puis (A.B).C

2) Calculer B.C, puis A.(B.C)

3) Donner la liste de tous les couples de matrices dont les termes sont A, B ou C et préciser pour quels couples on ne peut pas calculer le produit de premier terme par le second.

1. Exercice 2

Soient les matrices

1) Calculer

2) En déduire qu'il existe une matrice A' telle que .

On donnera d'abord l'expression de A' en fonction de A et de I, puis sous forme d'un tableau de nombres.

1. Exercice 3

Soient les matrices

1) Déterminer les deux nombres réels  et  tels que A = .I + .J

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