Les Fonctions logarithme népérien

3) Les Fonction logarithme népérien

A) Définition et représentation

Exemple :

A l’aide la touche ln de la calculatrice calculer :

Ln(3) = 1.0986
Ln(2) = 0.693
Ln(0) = Impossible
Ln(1) = 0
Ln(-4) = Impossible

-> Définition de l’ensemble de ln : La fonction est croissante sur  ]0 ; +[
La fonction ln est strictement croissante.[pic 1]

La fonction logarithme népérien est la fonction ln telle que pour tout x strictement positif, on associe le nombre ln(x)

ln(1) = 0
Si x>1, alors ln(x) est positif
Si 0<x<=1 alors ln(x) est négatif

B) Propriétés de ln

Donc :
Pour tout réels a et b positifs
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
ln(a)^n = n*ln(a)
0 = ln(1)

Exprimer en fonction de ln(2) :

Ln(16) = ln(2*2*2*2) = ln(2^4) = 4ln(2)
ln(2) – ln(√2) = ln(2) – ln(2)^(1/2) = 1ln(2) – 1/2ln(2) = 1/2ln(2)
ln(8) – 3ln(2) + ln(32) = ln(2^3) – 3ln(2) + ln(2^5) = 3ln(2) – 3ln(2) + 5ln(2) = 5ln(2)

2) Résoudre dans R

ln(x + 5) = 0
ln(x + 5) = ln(1)
x + 5 = 1
x = -4 Donc, S={-4}

ln(2x + 1) – ln(2 – x) = 0
ln(2x + 1) = ln(2 - x)
2x + 1 + x – 1 = 2 – x + x - 1
2x + x = 2 – 1
3x = 1
x = 1/3 Donc S={1/3}

ln(3x² + 3x – 6) = 0
ln(3x² + 3x – 6) = ln(1)
3x² + 3x – 6 – 1 = 1 – 1
3x² + 3x – 7 = 0
-------
a = 3 / b = 3 / c = -7

Delta = b² - 4ac = 3² - 4 x 3 x (-7) = 93 > 0 donc 2 solutions

x1 = 2.1
x2 = S={1.1 ; 2.1}

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2^x = 4096
ln(2^x) = ln(4096)
x * ln(2) = ln(4096)
x = ln(4096) / ln(2)
x = 12

3^x = 6561
ln(3^x) = ln(6561)
x * ln(3) = ln(6561)
x =  ln(6561) / ln(3) = 8

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Si un article augmente de 20% tous les mois, au bout de combien de temps aura-t-il doublé ?

1,2^x = 2
ln(1,2^x) = ln(2)
x*ln(1,2) = ln(2)
x= ln(2) / ln(1.2) = 4

Si un article augmente de 5% tous les mois, au bout de combien de temps aura-t-il doublé ?

1,05^x = 2
ln(1.05^x) = ln(2)
x*ln(1.05) = ln(2)
x = ln(2) / ln(1.05) = 15 (arrondi)

Si je place 10 000 € sur un livret annuel à 3%, au bout de combien de temps on aura 15 000€ ?

1,03^x = 1,5
ln(1.03^x) = ln(1.5)
x*ln(1.03) = ln(1.5)
x = ln(1.5) / ln(1.03)
x = 13.72 = 14 arrondi

Si je place 2000€ sur un livret à 7% annuel, au bout de combien d’année on aura 7000€

1.07^x = 3.5
ln(1.07^x) = ln(3.5)
x*ln(1.07) = ln(3.5)
x = ln(3.5)/ln(1.07)
x = 18,52 = 19 arrondi

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