Éléments de logique et raisonnement par récurrence

Chapitre 1 : Éléments de logique et raisonnement par récurrence

L1 : Logique mathématique

        1. Propositions mathématiques

        2. Les connecteurs logiques (et, ou, non , ⇒ , <=>)

        3. Les quantificateurs : universel ∀ et existentiel  ∃

        4. La négation des propositions avec des quantificateurs et connecteurs                         logiques …. et bien plus !

L2 : Le raisonnement par récurrence

        1. Les types de raisonnement : déductif et inductif

        2. Raisonnement par récurrence – illustrations

        3. Définition

        4. Exemples

        5. Contre-exemples

        6. Applications : en algèbre (inégalités, divisibilité) ; en analyse (suites)

L1 : Éléments de logique mathématique

1. Propositions mathématiques

Une proposition mathématique est un énoncé qui est soit vrai, soit faux (pas les 2...)

    ''Tout nombre premier est impair.'' est une proposition fausse car 2 est un nombre premier.

    ''Le carré d'un nombre réel est toujours positif.'' est une proposition vraie.

    "Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des         deux autres côtés" est une proposition vraie.

   ''Kevin est sage.'' N’est pas une proposition mathématique, car sa valeur de vérité peut changer d’un instant à l’autre.

Deux classes particulières de propositions :

  L'axiome : une proposition dont on admet qu’elle est vraie (sans démonstration).

  Le théorème: proposition dont on démontre qu’elle est vraie à l’aide des axiomes,          des théorèmes déjà démontrés, et des règles de la logique mathématique

Toute théorie mathématique repose sur :

        –  un ensemble de définitions d’objets mathématiques et

        – d’axiomes qui fixent les propriétés élémentaires de ces objets.

Exemples :  ∙ Si a = b alors a x c = b x c                 ∙ Si a < b alors a + c < b +c

∙ La géométrie dans le plan euclidienne (Les éléments d'Euclide IIIe siècle av. J.-C) 

est construite à partir de quelques définitions (point, droite, plan...) et 5 axiomes :

– Par deux points du plan passe toujours une droite et une seule.

– Étant donné une droite et un point extérieur, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première.

2. Les connecteurs logiques Toute ressemblance avec la grammaire n'est pas fortuite.

A partir de propositions simples on peut former des propositions plus complexes à l'aide des connecteurs logiques :  

                ET (conjonction logique), OU (disjonction), NON (négation)

La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition, notée P ET Q,  (P∧Q) qui est vraie si les deux propositions sont vraies en même temps et fausse si au moins une d'entre elle est fausse.

La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition, notée P OU Q,  P ∨ Q qui est vraie si l'une au moins des deux propositions est vraie.

! Le "ou" est non-exclusif :  “P ou Q" ne veut pas dire “soit P, soit Q"    mais “soit P, soit Q, soit les deux"

La négation de la proposition P est la proposition contraire de P, notée nonP, P , ⎤P

qui est vraie quand P est fausse et qui est fausse quand P est vraie. (Principe du tiers exclu)

Les tables de vérité  illustrent ces définitions (2 valeurs de vérité : F ou 0,  V ou 1)

*L'implication logique :      P ⇒ Q                  à la base de la déduction logique                    

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