Logique Raisonnements

Ch. 01 : Logique Raisonnements

Onsupposeconnuslesensemblesusuels.:N,R,C,....

logique, notations usuelles

Si E estunensemble,et x unobjet,on ´ecrit x ∈ E pour dire que x appartient ` a E (ou est un ´ el´ement de E) et x / ∈ E pour dire que x n’appartient pas ` a E

Exemple. Si E estl’ensembledesprofesseursdulyc´eeC´ezanne, etxleprofesseurdemath´ematiquedesECS-1dulyc´ee C´ezanne, alors x ∈ E. Par contre : si y est l’ensemble form´e des deux professeurs d’anglais et d’allemand des ECS-1 du lyc´ee C´ezanne alors y n’est pas un ´ el´ement de E, mais une partie de E, notion qui sera re-pr´ecis´ee au chapitre 5.

D´efinition 1.1 Une proposition (ou assertion) est une phraseP grammaticalement correcte dont on peut dire si elle est vraie

on fausse. On ´ecrit en g´en´eralP au lieu ”P est vraie”.

Si cette phrase d´epend d’un objet x, on pourra l’´ecrire P(x). P est alors une fonction `a valeurs dans (Vrai,Faux). En informatique, on dit que c’est une expression logique.

exemple. Consid´eronslaphraseP(x) d´efiniepourtout x r´eelpar la formule (x ≥ 0). Pour tout r´eel x fix´ e,P(x) est une proposition. P(1) est vrai P(−1) est faux Sur une copie, pour expliquer que pour tout x ∈R, son carr´ e x2 est positif ou nul s’´ecrit : x2 ≥ 0 (carr´e d’un r´eel)

Quantificateurs.

Si x est un objet math´ematique, la locution ∀x se lit ”quel que soit x”.

Si x est un objet math´ematique, la locution ∃x se lit ”il existe au moins un x”. On comprendra ces locutions dans un sens intuiitif.

On trouve la notation r´epandue : ∃!x qui se lit : ”il existe un et un seul un x”. Cettenotationn’estpasutiledanslesraisonnements.

Exemple. La phrase∀x ∈R,x2 ≥ 0 est vraie. La phrase∀x ∈R,x2 > 0 est fausse.

Exemple; prop. 1.1; remarque 1.3 La phrase∀x ∈R,∃y ∈R,y > x est vraie, alors que la phrase∃y ∈R,∀x ∈R,y > x est fausse. →→→Dans la phrase ∀x ∈R,∃y ∈R,y > x, y d´epend de x, alors que dans la phrase : ∃x ∈R,∀y ∈ [x,+∞[,ln(y) > x, x ne d´epend pas de y.

Morale : si on veut quantifier avec les symboles ∀,∃, il faut le faire correctement; sinon on ´ecrit en Franc¸ais. Une lettre doit toujours ˆetre d´eclar´ee avant son utilisation : ainsi la phrase x2 ≥ 0,∀x ∈R n’a pas de sens.

Exemple. Une suite U = (un)n∈N est la fonction U d´efinie sur N par la relation∀n ∈N,U(n) = un, Intuitivement (un)n∈N est la machine ou le programme qui `a tout entier n ∈N associe le nombre un. On dit aussi que c’est la suite de terme g´en´eral un.

→→→ On ´evitera de parler de la suite un, ceci pour ´ eviter de confondre la fonction U qui `a tout entier n associe le nombre un et la valeur de cette fonction en n.

La suite (un)n∈N est croissante lorsque : ∀n ∈N,un+1 ≥ un

Cette proposition ne d´epend pas de n. En effet :

ellesignifieu1 ≥ u0 etu2 ≥ u1 et...`ar´ep´eterind´efiniment jusqu’apr`eslafindestemps(silalafindestempsexiste). Onserendcomptequ’enr´ep´etantceci,onneprononce jamais le son ”enne”.

Exemple1.5 D´efinition de la fonction partie enti`ere. Pour tout x ∈R, il existe un unique entier n ∈Z tel que n ≤ x < n + 1. Ce nombre n est la partie enti`ere de x; on le notebxc. Le programme ECS note ent la fonction partie enti`ere.

Danslelangageinformatiqueauprogrammedelaclasse (SciLab),lapartieenti`ered’unr´eelxsecodefloor(x).

Op´erateurs logiques. D´ef 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6

SiP etQsont deux phrases, on d´efinit : • la phrase (P et Q) qui est vraie lorsque les deux phrases P et Q sont toutes les deux vraies et fausse lorsque l’une au moins d’entre elles est fausse.

• la phrase (P ou Q) qui est vraie lorsque l’une au moins des deux phrases P et Q est vraie et fausse lorsque les deux phrases P et Q sont toutes les deux fausses.

•la phrase (nonP) qui est vraie lorsqueP est fausse et fausse lorsqueP est vraie. •laphrase (P ⇒Q) quiestfausselorsqueP estvraie etQfausse et qui est vraie dans tous les autres cas.

Enparticulier,touteimplicationdontl’hypothseestfausse est vraie.

Pourmontrerque(P ⇒Q)estfausse(c’est-`a-direque non(P ⇒Q) est vraie), on doit donc montrer que : P est vraie etQest fausse. • la phrase (P ⇐⇒ Q) qui est vraie lorsque P et Q ont la mˆeme valeur logique (toutes les deux fausses ou toutes les deux vraies).

Remarques [quasi-] ´evidentes. non (P etQ)⇐⇒(nonP) ou (nonQ) non (P ouQ)⇐⇒(nonP) et (nonQ) Application : On tire au hasard sans remise deux fois une carte d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilit´e d’obtenir au moins un pique?

Dire que (P ⇐⇒Q) revient `a dire que : (P ⇒Q) et (Q⇒P). Exemple : M´ethode 1.2.

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