Les limites de fonctions
Fiche : Les limites de fonctions. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar carolinelisa • 10 Octobre 2024 • Fiche • 972 Mots (4 Pages) • 28 Vues
Terminale Spé
LIMITES DE FONCTIONS
Introduction : Voyage au pays des maths : Sur la route de l’infini
I- Limites à l'infini :
1. Limites en :[pic 1]
Définition : Soit une fonction définie au voisinage de +∞ .[pic 2]
● On dit que tend vers lorsque tend vers +∞ lorsque tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour suffisamment grand.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
On note .[pic 9]
● On dit que tend vers lorsque tend vers +∞ lorsque :[pic 10][pic 11][pic 12]
pour tout réel , il existe un réel tel que, pour tout , si alors [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
On note .[pic 18]
● On dit que tend vers lorsque tend vers +∞ lorsque :[pic 19][pic 20][pic 21]
pour tout réel , il existe un réel tel que, pour tout , si alors [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
On note .[pic 27]
[pic 28][pic 29]
[pic 30][pic 31]
2. Limites en :[pic 32]
Définition : Soit une fonction définie au voisinage de -∞ .[pic 33]
● On dit que tend vers lorsque tend vers -∞ lorsque [pic 34][pic 35][pic 36]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On note .[pic 37]
● On dit que tend vers lorsque tend vers -∞ lorsque :[pic 38][pic 39][pic 40]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On note .[pic 41]
● On dit que tend vers lorsque tend vers -∞ lorsque :[pic 42][pic 43][pic 44]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On note .[pic 45]
3. Graphiquement :
Exemple
[pic 46]
Il apparaît graphiquement que et .[pic 47][pic 48]
En effet, quelle que soit la valeur de choisie, la courbe représentant finit par se retrouver dans une bande limitée par les droites d'équation et pour ne plus en ressortir. [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
Définition : Soit une fonction définie au voisinage de +∞ (respectivement au voisinage de ) et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.[pic 53][pic 54][pic 55]
Lorsque (respectivement ) , on dit que la droite d’équation est une asymptote horizontale à en (respectivement en )[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
Une droite est une asymptote à la courbe lorsque la courbe se rapproche aussi près que l'on veut de la droite. Sur ce graphique, les longueurs MN (resp M'N') tend vers 0 quand x tend vers +∞ (resp -∞ ).
[pic 62]
4. Limites des fonctions usuelles :
II- Limites en un réel, limite à gauche, limite à droite :
1. Limites en :[pic 63]
Définition : Soit une fonction définie au voisinage de sauf éventuellent en .[pic 64][pic 65][pic 66]
● On dit que tend vers lorsque tend vers lorsque tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour suffisamment proche de .[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]
On note .[pic 75]
● On dit que tend vers lorsque tend vers lorsque tout intervalle du type () contient toutes les valeurs de pour suffisamment proche de .[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]
On note .[pic 85]
● On dit que tend vers lorsque tend vers lorsque --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]
graphique pour comprendre
Remarques :
● il est souvent nécessaire de considérer 2 limites :
- la limite à gauche lorsqu'on s'approche de "par la gauche" ie avec .[pic 90][pic 91]
On note alors
- la limite à droite lorsqu'on s'approche de "par la droite" ie avec . On note alors [pic 92][pic 93]
● Si on a
Alors
2. Limites de fonctions usuelles en un réel :
3. Graphiquement :
Définition : Soit une fonction définie au voisinage de et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.[pic 94][pic 95][pic 96]
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