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Les limites de fonctions

Fiche : Les limites de fonctions. Recherche parmi 300 000+ dissertations

Par   •  10 Octobre 2024  •  Fiche  •  972 Mots (4 Pages)  •  18 Vues

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Terminale Spé                  

        LIMITES DE FONCTIONS        

Introduction : Voyage au pays des maths : Sur la route de l’infini

I- Limites à l'infini :

1. Limites en  :[pic 1]

Définition : Soit  une fonction définie au voisinage de + .[pic 2]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers +  lorsque tout intervalle ouvert contenant  contient toutes les valeurs de  pour  suffisamment grand.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

On note  .[pic 9]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers +  lorsque :[pic 10][pic 11][pic 12]

pour tout réel , il existe un réel  tel que, pour tout , si  alors [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

On note  .[pic 18]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers +  lorsque :[pic 19][pic 20][pic 21]

pour tout réel , il existe un réel  tel que, pour tout , si  alors [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

On note  .[pic 27]

[pic 28][pic 29]

[pic 30][pic 31]

2. Limites en  :[pic 32]

Définition : Soit  une fonction définie au voisinage de - .[pic 33]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers -  lorsque [pic 34][pic 35][pic 36]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

On note  .[pic 37]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers -  lorsque :[pic 38][pic 39][pic 40]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 On note  .[pic 41]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers -  lorsque :[pic 42][pic 43][pic 44]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

On note  .[pic 45]

3. Graphiquement :

Exemple

[pic 46]

Il apparaît graphiquement que  et  .[pic 47][pic 48]

En effet, quelle que soit la valeur  de  choisie, la courbe représentant  finit par se retrouver dans une bande limitée par les droites d'équation  et  pour ne plus en ressortir. [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Définition : Soit  une fonction définie au voisinage de +  (respectivement au voisinage de ) et  sa courbe représentative dans un repère orthogonal.[pic 53][pic 54][pic 55]

Lorsque     (respectivement ) , on dit que la droite d’équation  est une asymptote horizontale à  en  (respectivement en )[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Une droite est une asymptote à la courbe lorsque la courbe se rapproche aussi près que l'on veut de la droite. Sur ce graphique, les longueurs MN (resp M'N') tend vers 0 quand x tend vers + (resp - ).

[pic 62]

4. Limites des fonctions usuelles :

II- Limites en un réel, limite à gauche, limite à droite :

1. Limites en  :[pic 63]

Définition : Soit  une fonction définie au voisinage de  sauf éventuellent en .[pic 64][pic 65][pic 66]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers   lorsque tout intervalle ouvert contenant  contient toutes les valeurs de  pour  suffisamment proche de .[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

On note  .[pic 75]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers   lorsque tout intervalle du type   () contient toutes les valeurs de  pour  suffisamment proche de .[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]

On note  .[pic 85]

● On dit que  tend vers  lorsque  tend vers   lorsque --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

graphique pour comprendre

Remarques :

● il est souvent nécessaire de considérer 2 limites :

- la limite à gauche lorsqu'on s'approche de  "par la gauche" ie avec .[pic 90][pic 91]

On note alors

- la limite à droite lorsqu'on s'approche de  "par la droite" ie avec . On note alors [pic 92][pic 93]

● Si on a

Alors

2. Limites de fonctions usuelles en un réel :

3. Graphiquement :

Définition : Soit  une fonction définie au voisinage de  et  sa courbe représentative dans un repère orthogonal.[pic 94][pic 95][pic 96]

...

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