Limites de fonctions

5- Limites et croissances comparées

Propriétés : Croissances comparées 

(1) lim ln(x) / x =0

     x→+∞

(2) lim x*ln(x)=0

     x→0+

Démo: (1) Posons X=ln(x). Donc x=eX

Donc ln(x) / x=X/eX=1 / eX/X=0

lim ln(x) =+∞

x→+∞

et lim eX/X=+∞ par croissances comparées donc lim 1/eX/X = 0 par inverse

Donc, par composition, lim ln(x) / x = 0

                           x→+∞

(2) X=ln(x) (=) x=eX

Donc x ln(x)=eX * X=XeX

lim ln(x)=-∞

x→0+

et lim XeX=0 par croissances comparées. Donc, par composition, lim xln(x)=0

                                                                        x→0+

Propriété : lim ln(1+x) / x=

              x→0

Démo : Pour tout x>-1, ln(1+x) / x = ln(1+x)-ln(1) / x[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

                                        taux d’accroissement de ln entre 1 et 1+x

Or, ln est dérivable en 1, donc lim ln(1+x)-ln(1) / x = ln’(1)=1/1=1

Applications : Calculer : 1) lim (x-ln(x))

                                x→+∞

                             2) lim ln(x) / x-1

                                x→ 1

                             3) lim ln(x) / x-1

                                  x→+∞

Pour tout x>0, x-ln(x)=x(1-ln(x)/x)

par croissances comparées, lim ln(x)/x=0 et par somme et produit, lim [x(1-ln(x)/x)]=+∞

                                x→+∞                                        x→+∞

Pour tout x>0, ln(x)/x-1=ln(x)-ln(1) / x-1

Donc, lim ln(x) / x-1 = ln’(1)=1/1=1

Autre méthode : changement de variable X=x-1

ln(x) / x-1= ln(X+1) / X

lim (x-1) = 0

x→1

lim ln(1+X)/X=1                par composition, lim ln(x)/x-1=1

3) lim ln(x) / x-1 ?

    X→+∞

Pour tout x>0, ln(x) / x-1=ln(x) / x(1-1/x)=ln(x) / x * 1/1-1/x

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