Limites de fonctions

Chapitre 3 : Limites de fonctions

I. Limite d’une fonction

1. Limite à l’infini

Définition : Limite infinie à l’infini

Soit f une fonction définie sur D f . Soit a ∈ R tel que [ a ; +∞[ ⊂ D f

(cela signifie que f est définie au voisinage de +∞).

On dit que f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ si :

→ ∀ A ∈ R, il existe M tel que si x ≥ M alors f ( x ) ≥ A.

On note alors lim f ( x ) = +∞.

x →+∞

On définit de façon analogue :

• lim f ( x ) = −∞ • lim f ( x ) = +∞ • lim f ( x ) = −∞

x →+∞ x →−∞ x →−∞

Définition : Limite finie à l’infini

Soit f une fonction définie au voisinage de +∞, et soit ℓ ∈ R.

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers +∞ si :

→ ∀ ϵ > 0, il existe M tel que si x ≥ M alors | f ( x ) − ℓ| < ϵ.

On note alors lim f ( x ) = ℓ.

x →+∞

On définit de même lim f ( x ) = ℓ

x →−∞

▷ Remarques :

• Dire que lim f ( x ) = +∞, c’est dire que pour A aussi grand que l’on veut, [ A ; +∞[ contient toutes les

x →+∞

valeurs de f ( x ) pour x assez grand.

• Dire que lim f ( x ) = ℓ, c’est dire que pour ϵ aussi petit que l’on veut, ]ℓ − ϵ ; ℓ + ϵ[ contient toutes les

x →+∞

valeurs de f ( x ) pour x assez grand.

2. Limite en un réel

Définition : Limite infinie en un réel

Soit f une fonction définie sur D f .

Soit a ∈ D f (a peut être une borne de D f ).

On dit que f a pour limite +∞ quand x tend vers a si :

→ ∀ A ∈ R, il existe δ > 0 tel que si | x − a| < δ alors f ( x ) > A.

On note alors lim f ( x ) = +∞.

x→a

On définit de même lim f ( x ) = −∞.

x→a

Mme Poirier Terminale - Spécialité Mathématiques - Année 2022/2023 1/ 5

 Définition : Limite finie en un réel

Soit f une fonction définie sur D f .

Soit a ∈ D f (a peut être une borne de D f ).

On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers a si :

→ ∀ ϵ > 0, il existe δ > 0 tel que si | x − a| < δ alors | f ( x ) − ℓ| < ϵ.

On note alors lim f ( x ) = ℓ.

x→a

▷ Remarques :

• Dire que lim f ( x ) = +∞, c’est dire :

x→a

Pour A aussi grand que l’on veut, [ A ; +∞[ contient toutes les valeurs de f ( x ) si x est assez proche de a.

• Dire que lim f ( x ) = ℓ, c’est dire :

x→a

Pour ϵ aussi petit que l’on veut, ]ℓ − ϵ ; ℓ + ϵ[ contient toutes les valeurs de f ( x ) si x est assez proche de a.

3. Limite à droite - Limite à gauche

Définition :

Soit b un nombre réel (ou +∞ ou −∞), soit a ∈ R.

• b est la limite à gauche de f en a ⇐⇒ f admet b pour limite quand x tend vers a, et x < a.

• b est la limite à droite de f en a ⇐⇒ f admet b pour limite quand x tend vers a, et x > a.

On note : −→ lim f ( x ) = b la limite à gauche −→ lim f ( x ) = b la limite à droite

x→a x→a

x<a x>a

Exemple :

1

Soit f la fonction définie sur R∗ par f ( x ) = .

x

1 1

lim = −∞ lim = +∞

x →0 x

...