Exercices de mathématiques

Exercice 1

ABCD un tétraèdre. I, J, K et L sont les points définis par : =, [pic 1][pic 2][pic 3]

1. Faisons la figure :

        D[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

        I

        C[pic 13][pic 14]

        L[pic 15]

        A        B

J

        K

1. Déterminons les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (A,  )[pic 16]

A[pic 17]

  A B C D[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

    [pic 23][pic 24]

[pic 25]

        =        [pic 26]

[pic 27]

1. Montrons qu’il existe deux nombres réels α et β tels que [pic 28]

Calculons d’abords [pic 29]

 , maintenant  et  [pic 30][pic 31][pic 32]

Dans le 2        x(-2)[pic 35][pic 33][pic 34]

Remplaçons β dans 1

[pic 36]

 Donc         β=2[pic 37]

L’équation est une solution (α, β) = (2-1). Alors il existe deux nombres réels α et β tels que [pic 38]

[pic 39]

1. Justifions que I,J,K et L sont coplanaires.

I,J,K et L sont coplanaires parce  qu’il existe deux nombres réels tels que :

[pic 40]

Exercice 2

1. Montrons que (o,) est un repère orthonormal de l’espace.[pic 41]

Soit                          [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 42][pic 43][pic 44]

Un repère est orthonormal si et seulement si  et,,[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

Appliquons le numériquement

[pic 56]

[pic 58]

[pic 60]

 Donc (o,) est un repère de l’espace.[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Donc [pic 65]

[pic 66]

Donc [pic 67]

[pic 68]

Donc [pic 69]

Donc (o,) est un repère orthogonal.[pic 70]

 et ,, alors (o,) est un repère orthonormal de l’espace.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

1. A;Bet C[pic 76][pic 77][pic 78]

1. Plaçons ces points dans le repère (o,,,)[pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82][pic 83]

[pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

        B[pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

                        A[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

[pic 98][pic 99]

                                C

1. Démontrons que le triangle ABC est rectangle. Précisons le sommet de l’angle droit.

Soit le triangle ABC, calculons d’abord AB, AC, et BC  

[pic 100]

 Donc [pic 101][pic 102]

 = =[pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, on :

BC2=AB2+AC2 

        =14+19

        BC2        =33 d’où 33=33 dans le triangle ABC rectangle en A.

3) montrons que A, B, C et M sont coplanaires :

A, B, C et M sont coplanaires :

 Tels que :[pic 109][pic 110]

[pic 111]

Dans le 3, [pic 112]

        [pic 113]

               [pic 114]

1 dans 2

[pic 116]

        Comme α et β deux nombres réels soit α≠0 et β≠0, alors les points A,B,C et M sont coplanaires.

...