Mathématiques: les suites

I. Quelques rappels

1. Définitions et notations

Une suite est une fonction définie sur l’ensemble N.

On considère la suite u qui associe à un entier n son double 2n :

n 0 1 2 ...

u(n) 0 2 4 ...

L’image de 2 par u se note u2 plutôt que u(2). On dit que u2 est le terme d’indice ou de rang 2

de u. Plus généralement, la suite u se note (un) ou (un)n∈N.

Il arrive que l’on définisse une suite à partir d’un certain rang ; par exemple, la suite v : n →

1

n

ne peut être définie qu’à partir de 1 . On la note alors (vn)n>1.

Une suite peut être définie de deux manières :

• A l’aide d’une formule explicite qui permet de calculer directement un. Cela revient à disposer

d’une fonction f tel que un = f(n). C’est le cas des deux suites définies dans l’exemple

précédent.

• A l’aide d’une relation de récurrence : c’est une relation qui permet de calculer un+1 lorsque

l’on connaît un. Par exemple, la suite v telle que v0 = 1 et pour tout n ∈ N, vn = vn−1 + 2

est parfaitement définie ; on a v1 = 3, v2 = 5, ... Remarquons que pour calculer vn, il faut

calculer tous les termes qui le précédent.

On dit que la suite (un) est croissante (respectivement, décroissante) si pour tout n appartenant

à N on a un+1 > un (respectivement, un+1 6 un).

2. Suites arithmétiques

Définition. On dit qu’une suite (un) est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en

ajoutant toujours le même nombre r appelé raison de cette suite, c’est-à-dire lorsque un+1 = un +r

pour tout n ∈ N.

Exemple. La suite des nombres pairs 0, 2, 4, ... est une suite arithmétique de raison 2.

Proposition. Si La suite (un) est arithmétique de raison r alors pour tout n, p ∈ N, on a

un = up + (n − p)r. Si p = 0, on a en particulier un = u0 + nr.

Remarque. Pour montrer qu’une suite (un) n’est pas arithmétique, il suffit de montrer que

u1 − u0 6= u2 − u1. Par contre, le fait que u1 − u0 = u2 − u1 ne suffit pas à montrer que la

suite (un) est arithmétique.

Proposition. Une suite de raison

• strictement positive est strictement croissante

• strictement négative est strictement décroissante

• nulle est constante.

Proposition. On a

1 + 2 + ... + n =

n(n + 1)

2

.

3. Suites géométriques

Définition. On dit qu’une suite (un) est géométrique lorsque l’on passe d’un terme au suivant

en multipliant toujours par le même nombre q appelé raison de cette suite, c’est-à-dire, lorsque

un+1 = q.un pour tout n ∈ N .

Exemple. La suite 1, 2, 4, 8, 16... est une suite géométrique de raison 2.

Proposition. Si (un) est une suite géométrique de raison r, alors pour tout n, p ∈ N, on a

un = up.qn−p

.

En particulier, si p = 0, on a un = u0.qn.

Proposition. Soit (un) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u0 non

nul.

• Si q < 0 alors la suite (un) n’est pas monotone.

• Si 0 < q < 1 et si :

– u0 > 0 alors la suite (un) est strictement décroissante.

– u0 < 0 alors la suite (un) est strictement croissante.

• Si q = 1 alors la suite (un) est constante.

• Si q > 1 et si :

– u0 > 0 alors la suite (un) est strictement croissante.

– u0 < 0 alors la suite (un) est strictement décroissante.

Proposition. Si q 6= 1, alors

1 + q + ... + q

n =

1 − q

n+1

1 − q

.

II. Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est un type de démonstration utilisé pour démontrer qu’une

propriété est vraie pour des entiers positifs à partir d’un rang donné n0 . Pour démontrer par

récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier positif n > n0, on procède par étapes :

• On énonce la propriété à démontrer.

• Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour n = n0.

• Hérédité : on vérifie que si on suppose la propriété vraie à un rang n > n0 (c’est ce que l’on

appelle l’hypothèse de récurrence) alors la propriété est vraie au rang n + 1.

• Conclusion : la propriété est vraie pour n = n0 et elle est héréditaire ; donc par récurrence

elle est vraie pour tout n > n0 .

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Exemple. Soit (vn) la suite

...