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Fonctions

Correction de l’exercice 11 du TD fonctions et continuité : Encore une fonction auxiliaire

On cherche à étudier la fonction f définie sur ]−1 ; 1[∪]1 ; +∞[ par : f (x) = x3 +2

x2 −1.

1. Soit g la fonction définie sur Rpar g (x) =x3 −3x −4.

1. a. Dresser le tableau de variations de g (justifier).

La fonction g est définie et dérivable sur Ret pour tout réel x :

g ′(x) =3x2 −3 =3(x −1)(x +1)

g ′ est une fonction polynôme du second degré, dont les racines sont 1 et (−1), elle est du signe du coefficient de

x2 à l’extérieur des racines soit positive. On obtient :

x

Signe de g ′(x)

Variations de g

−∞ −1 1 +∞

+ 0 − 0 +

−2−2

−6−6

α

0

3

14

1. b. Montrer que l’équation g (x )=0 admetune unique solution réelle α,etdéterminer le signe de g (x ) en fonction

de x .

• Sur ]−∞; 1] : d’après l’étude menée précédemment, la fonction g admet (−2) comme maximum sur cet

intervalle, donc l’équation g (x) =0 n’y admet pas de solution.

• Sur [3 ; +∞[ : la fonction g est strictement croissante de minimum g (3) =14 >0, donc l’équation g (x) =0 n’y

admet pas de solution.

• Sur [1 ; 3[ :

– La fonction g est continue et strictement croissante sur [1 ; 3[.

– k =0 est compris entre g (1) =−6 et g (3) =14.

– Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire, l’équation g (x) =0 admet une unique

solution αet 1 <α<3.

• Conclusion : l’équation g (x) =0 admet une unique solution réelle αsur Ret 1 <α<3.

On obtient donc d’après le tableau de variations :

x

Signe de g

−∞ 1 <α<3 +∞

− 0 +

1. c. Déterminer un encadrementde αd’amplitude 10−2.

La calculatrice donne : {g (2,19) ≈−0,0665 <0

g (2,20) ≈0,048 >0 =⇒ 2,19 <α<2,20

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2. Justifier que f est dérivable sur ]−1 ; 1[∪]1 ; +∞[ et vérifier que : f ′(x ) = x g (x )

(x 2 −1)2 .

La fonction f est définie et dérivable sur ]−1 ; 1[∪]1 ; +∞[ car quotient d’un

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