Les fonctions - terminale S

I. - Limites        1

I.1. Définitions        1

I.2. Limites usuelles        1

I.3. Opérations        4

I.3.1. Limite d'une somme de fonctions        4

I.3.2. Limite d'un produit de fonctions        4

I.3.3. Limite d'un quotient        5

I.3.3. Limite à l'infini        5

I.4. Limites d'une fonction composée        6

I.5. Théorèmes de comparaison        6

I.5.1. Comparaison à l'infini        6

I.5.2. Théorème des gendarmes        7

II. - Limites en l'infini et asymptotes        7

II.1. Asymptote verticale        7

II.2. Asymptote horizontale        8

II.3. Asymptote oblique        8

II.  – Continuité d'une fonction        9

II.1. - Définitions        9

II.2. - Théorème des valeurs intermédiaires        10

II.3. – Remarques importantes        11

III. - Dérivation        11

III.1. - Nombre dérivé de f en a        11

III.1.1. Définitions        11

III.1.2. Détermination de l'équation de la tangente        12

III.1.3. - Ecriture différentielle        12

III.2. – Fonction dérivée et opérations        12

III.2.1.  Définition        12

III.2.2. Dérivées de fonctions usuelles        13

III.2.3. Règles de dérivation        14

III.3. - Dérivée d'une fonction composée        15

III.4. Sens de variation        15

I. - Limites

I.1. Définitions

Soit l un réel. Le nombre f(x) tend vers l lorsque x tend vers +  si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On dit alors que la fonction f admet l pour limite en + et l'on note

[pic 1][pic 2]

Si tout intervalle ]A;+[ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand, alors on dit que f(x) tend vers +  lorsque x tend vers +. f  admet + pour limite en  + et on note :

[pic 3][pic 4]

On définit de la même façon les limites de f en -;

I.2. Limites usuelles

Rappels :

• Un dénominateur correspond à une puissance négative
• La racine nième d'un nombre a  ([pic 5]) est le nombre b tel que bn = a[pic 6][pic 7][pic 8]
• Une racine nième correspond à une puissance fractionnelle 1/n (exemples : ou [pic 10])[pic 11][pic 9]

Les limites des fonctions polynômes et fractionnelles peuvent être alors énoncés de la manière suivantes :

Pour les limites en + : on distingue deux cas : selon la valeur de p

• si la puissance est positive (fonction polynôme)
• si la puissance est négative (fonction fractionnelle)

Soit x un nombre réel, p un nombre rationnel et n un entier relatif.

Exercice : Calculer les limites suivantes

[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24]

Pour les limites en - : on distingue trois cas : selon la valeur de p

• Si p est positif, entier et pair
• Si p  est positif, entier et impair
• Si p est négatif et entier

Exercice : Calculer les limites suivantes

[pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30]

Remarque :

• Si p est un rationnel pur, de la forme  [pic 31] alors la limite en -  n'est pas définie puisque la fonction f n'est définie que [0;+[[pic 32]

Ex : [pic 33][pic 34][pic 35]

I.3. Opérations

Soient f et g deux fonction numériques, l et l' deux nombres réels, et soit a représentant un réel, + ou -.

I.3.1. Limite d'une somme de fonctions

Exercice : Calculer les limites suivantes

[pic 42][pic 43]

[pic 44][pic 45]

I.3.2. Limite d'un produit de fonctions

Exercice : Calculer les limites suivantes

[pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55][pic 56]

I.3.3. Limite d'un quotient

Exercice : Calculer les limites suivantes

[pic 65][pic 66]

[pic 67][pic 68]

I.3.3. Limite à l'infini

A l'infini :

• toute fonction polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.
• Toute fonction rationnelle a même limite que le quotient simplifié de ses termes du plus haut degré.

Exercice : Soit les fonctions f et g  définies sur IR par f(x) = 3x4+2x3+ x + 2 et g(x) = 2x3+ x2 - 2

Etudier les limites en +  et en - de f et g.

[pic 69][pic 70]

...