Corrigé maths 2016

1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer et en fonction de .

La fonction tangente est définie sur l'intervalle par .

Dans le triangle ETA rectangle en E, en utilisant les relations trigonométriques élémentaires nous avons :

De même en travaillant dans ETB nous avons :

2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle .

La fonction est dérivable sur et nous avons :

avec :

et

et

Donc :

Il s'ensuit que pour tout ; et donc que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

3. L'angle admet une mesure appartenant à l'intervalle , résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels et de l'intervalle :

Montrer que .

Vu la disposition des points sur la figure nous avons la relation : . Il s'ensuit que :

4. L'angle est maximum lorsque sa mesure est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle de la fonction définie par : .

Montrer qu'il existe une unique valeur de pour laquelle l'angle est maximum et déterminer cette valeur de au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle à radian près.

La fonction tangente étant croissante sur l'intervalle d'étude, est maximum lorsque est maximum soit lorsque est maximum sur .

Par inverse est maximum lorsque est minimum et on peut écrire :

On remarque alors que les fonctions et ont leur minimum atteints pour la même valeur de , donc finalement la mesure de est maximale pour un minimum sur de la fonction définie par .

On étudie maintenant sur la fonction . Cette fonction est dérivable sur l'intervalle considéré et nous avons :

avec .

Compte tenu du signe du produit nous obtenons le tableau de variations :

Cela met en évidence un uniquement minimum pour sur atteint pour .

Donc est maximum pour m et avec cette valeur :

Avec la calculette on trouve radians.

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