Sujet de maths corrigé

MPSI, Dumont d'Urville, 2020-2021 Samedi 19/09, 2 heures

DS1 : Correction

Ce qui est proposé plus bas pour répondre à une question n'est jamais l'unique réponse correcte à cette

question. Un corrigé, comme celui-ci, n'est pas une copie "parfaite" d'élève. Certaines réponses sont volontairement rédigées d'une façon que je ne m'attends pas à trouver dans vos copies. Pour une question facile, que

vous devez savoir faire sans diculté, la réponse plus bas peut être moins détaillée que ce qui est attendu dans

votre copie. Pour une question plus dicile, la réponse plus bas peut être plus détaillée que ce qui surait dans

une copie.

Le corrigé a pour rôle de vous permettre de reprendre et d'approfondir le sujet, de comprendre vos erreurs

et/ou comprendre comment vous auriez pu faire diérentes choses. En cas de blocage pendant le DS : survoler

rapidement le corrigé ne sura pas à en comprendre les ressorts et à savoir faire ensuite l'exercice vous même.

Une étude sérieuse, susamment approfondie, donnera de meilleurs résultats.

Exercice 1. Révisions de terminale

1. Sans vous préoccuper du domaine de dérivabilité, calculer la dérivée des fonctions dénies

par : f(x) = e

x

2 + cos(x)

et g(x) = (x + sin(x)) ×

√

2x + 1.

Vous devez trouver : f

0

(x) = e

x ×

sin(x) + cos(x) + 2

(2 + cos(x))2

et g

0

(x) = x

3 + 2 cos(x)

+ sin(x) + cos(x) + 1

√

2x + 1

.

Quelques étapes du calcul doivent se trouver sur votre copie. Vous pouvez rappeler les formules comme

u

v

0

=

u

0v − v

0u

v

2

ou les utiliser directement.

2. Sans vous préoccuper des intervalles de validité, donner une primitive de chacune des fonctions dénies par : u(x) = 1

x

2

−

1

5x + 2

et w(x) = e

x

e

x + 1

.

La fonction dénie par U(x) = −1

x

−

1

5

ln(5x + 2) a pour dérivée la fonction u.

Et la fonction dénie par W(x) = ln(e

x + 1) a pour dérivée la fonction w.

3. Simplier l'expression suivante : A =



ln(e

−2

)

3

e

2 ln(3) ln(2)

e

ln(2)−ln(3)

ln(24)

.

On calcule

A =



ln(e

−2

)

3

e

2 ln(3) ln(2)

e

ln(2)−ln(3)

ln(24)

=

(−2)3 × 3

2 × ln(2)

2 × 3−1 × 4−1(ln(2))−1

= − 2

4 × 3

3 × ln2

(2).

4. Mettre le nombre complexe z =

√

3 − i sous forme exponentielle. En déduire la forme algébrique du complexe t = z

39

.

Le module de z vaut √

3 + 1 = 2. Ainsi :

z = 2 ×

√

3

2

−

1

2

i

!

= 2 ×



cos(−π/6) + isin(−π/6)

= 2e

−iπ/6

.

Cela donne z

39 = 239 e

−i39π/6

.

...