Livre de maths corrigé

Term S

Fonction logarithme népérien

1- Définition et premières conséquences

Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle est strictement croissante sur . [pic 1]

De plus ,                        
[pic 2]

Donc,………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………….

Théorème :

Pour tout réel strictement positif b, il existe un seul réel a tel que ea = b .  

Ce réel a est appelé logarithme népérien de b et on le note ln(b) et même plus simplement ln b.

[pic 3]

Définition :

On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, la fonction qui, à tout réel x strictement positif associe le réel y dont l’exponentielle est x .

Conséquences :  On a donc,

• pour tout x > 0, ey = x  ⇔ …………….
• pour tout réel x , ln(ex) = …..
• pour tout réel x > 0 , eln x = …..
• ln 1 = …..  et ln e = …...

2- Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs a et b, et tout entier relatif n,

           [pic 4][pic 5]

3 - Variations et limites

[pic 6]

Propriété : La fonction ln ……………………………………………………………………………

Limites :                                                 [pic 7][pic 8]

4  - Fonctions logarithme et dérivées

Fonction dérivée de la fonction ln : [pic 9]

Fonction dérivée de la fonction ln (u(x)) :

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I: [pic 10]

Remarque : Le nombre dérivée de ln en 1 ….

5 – Croissances comparées

[pic 11]

...