Loi frottement

 Cours de Mécanique Chapitre 8 : frottement

Lois de frottement 

L’objectif de ce chapitre est d’introduire les lois de frottement dans la résolution d’un problème  de mécanique. Au delà de l’étude statique des problèmes d’équilibre et d’arc-boutement, nous  allons nous intéresser à l’étude des mouvements du système lors des différentes phases du  mouvement avec ou sans glissement. L’intérêt de traiter des problèmes de dynamique avec  frottement, tient à l’aspect non linéaire des lois de frottement, il faut formuler une hypothèse  sur les conditions de contact, pour pouvoir résoudre le problème, hypothèses qu’il est alors  nécessaire de vérifier à posteriori. Analyser et comprendre la démarche mise en jeu lors de la  résolution de ces problèmes est essentiel. C’est une démarche fondamentale pour l’ingénieur qui  est à la base de la notion de modélisation : savoir faire des hypothèses, sur lesquelles on peut  construire une solution mathématique, puis vérifier que la solution obtenue satisfait les  hypothèses de départ.  

L’étude du frottement de deux surfaces en contact a fait l’objet de nombreuses études, citons  les travaux précurseurs de Léonard de Vinci (1500) à qui on peut attribuer les affirmations  suivantes :  

• la résistance due au frottement dépend de la nature des matériaux en présence.  • la résistance due au frottement dépend du degré de façonnage ou de polissage des  surfaces.  

• la résistance due au frottement dépend de la présence éventuelle d'un fluide ou d'un  autre matériau entre les surfaces.  

• la résistance due au frottement est indépendante de l'extension de la surface de  contact.  

• la résistance due au frottement s'accroît avec l'augmentation de pression d'un corps sur  l'autre.

Nous allons dans ce qui suit présenter les lois de Coulomb (1781) qui sont des lois empiriques  donnant des relations supplémentaires entre les paramètres du mouvement (inconnues  cinématiques) et les efforts de contact (inconnues efforts) du modèle mathématique  représentant le système mécanique.  

1 Exemple préliminaire  

À titre d’exemple étudions le problème simple du plan incliné.  

G !g 

α

L’expérience montre qu’un objet placé sur un plan reste à  l’équilibre tant que l’inclinaison du plan n’atteint pas une valeur  critique à partir de laquelle il y aura glissement.  

L’objet de cette étude est de mettre en évidence la nécessité de prendre en compte le  phénomène de frottement pour modéliser le problème et l’obligation d’écrire une relation  supplémentaire pour résoudre un problème aussi simple.  

Si le contact est supposé parfait le bilan des actions  mécaniques exercées sur notre objet se réduit :  Au poids  

! ! RA = N y1 

!x 1

G

!y1 

Aux actions de contact en un point A de la surface  

x

!

M (A) qcq

Dans le plan, nous avons 3 équations pour 3 inconnues :  

La position : x  

α

Les efforts : N et MA 

M o − g y!

© hervé Oudin 2002 107

 Cours de Mécanique Chapitre 8 : frottement

 − = − =

N Mg

cos 0

α

""

Les 3 équations déduites du principe fondamental sont :  

Mg Mx sin  

α

 = 

M

0 A 

Remarque : nous avons choisi pour point A, le projeté de G  

suivant la normal au plan de contact.  

A l’équilibre ""x = 0 , la seconde équation ne peut être satisfaite que pour α = 0 , ce qui est  contraire à l’expérience. Pour que l’objet ne glisse pas, avec une inclinaison non nulle du plan, il  faut que le contact ai lieu avec frottement.  

Le frottement introduit une composante tangentielle à  l’effort de contact.  

N

 − =  − =

! ! ! RA = + Ny Tx 1 1 !x 1 

N Mg

 cos 0

α

""

T

le PFD nous donne alors :  

T Mg M x  sin  

α

 = 

!y1 

x

G

!

M (A) qcq

M

0 A 

M o − g y!

Nous avons 3 équations pour 4 inconnues ( ,, , N TM x A ) α

Les conditions d’équilibre nous donnent alors N Mg = cosα et T Mg = sinα .  En conclusion :  

• il nous manque une équation pour résoudre le problème du glissement avec  frottement,  

• nous savons calculer les efforts à l’équilibre, mais nous sommes incapable de calculer  l’inclinaison limite du plan pour laquelle l’équilibre sera rompu (glissement de l’objet).  

...