Loi exponentielle et loi poisson

Loi exponentielle et loi poisson

I / Loi exponentielle

Définition : La loi exponentielle de paramètre λ >0 est une loi de densité dont la fonciton de densité est λe-λt où t >0

f(t)=0.02e-0.02t

f '(t) =0.02 * (-0.02) e-0.02t = -0.00004 e-0.02t

II / Calcule d'une probabilité

P(X <= a ) = [pic 1]

P(a<= X <= b ) = [pic 2]

III / Esperance mathématique - variance - écart type

E(x) = 1 / λ

V(x) = 1/λ²

σ(x) = 1/λ

IV / Fiabilité et défaillance

La fiabilité d'un appareil est la probabilité que cet appareil ne tombe pas en panne avant un instant T.

On note R(t) la fonction de fiabilité

Soit T une variable aléatoire qui étudie le temps t

R(t) = p(T>t)=e-λt

T suit une loi exponentielle de paramètre λ

La fonction de défaillance se note F(t) = 1-R(t)

F(t) = p(T<=t) = 1 - e-λt

Temps moyen de bon fonctionnement  : MTBF

MTBF (x) = 1 / λ

V(x) = 1/λ²

σ(x) = 1/λ

V / Montage en série / Montage ne parallèle

Pour un montage en série, la fonction de fiabilité du système est égale au produit des fonctions de fiabilité de chacun des composants tandis que la défaillance est égale à 1 - R(t)

Pour un montage en //, la fonction de défaillance est égale au produit des fonctions de défaillance de chacun des composants tandis que la fiabilité est égale à 1 -àç² F(t)

VI / Loi de Poisson

   1 / Champs d'application

Phénomène imprévisible : le futur est indépendant du passé

Soit X v.a qui suit une de Poisson de paramètre λ réel positif noté P(λ)

Alors X ne prend que des valeur K entier

p(X=K) = (e-λ * λk) / k!

2 / Espérance, variance et σ

E(x) = λ

V(x) = λ

σ = sqrt(λ)

3 / Approximation d'un loi B (n;p) par une loi de Poisson

λ = n*p

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