La loi de Poisson

7.4.2. La loi de Poisson

Il existe plusieurs phénomènes aléatoires pour lesquels la réalisation d'un certain événement arrive peu fréquemment pendant une certaine unité de mesure (unité de temps et d'espace). Il en va ainsi, par exemple, pour les expériences consistant à observer le nombre d'appels enregistrés dans une centrale téléphonique pendant une minute, le nombre d'avions arrivant dans un aéroport pendant une heure, le nombre d'orages électriques se produisant dans une région pendant une année, le nombre de défauts perceptibles sur la surface d'une voiture. Ce type de processus aléatoire est appelé loi de Poisson.

On peut établir une certaine analogie entre ce processus et l'épreuve de Bernoulli. Dans l'épreuve de Bernoulli, on a des succès distribués de façon aléatoire au cours d'une suite d'épreuves, alors que le processus de Poisson implique des succès distribués d'une façon aléatoire pendant une certaine période ou dans un certain espace (divisé en unités).

Cette loi a de nombreuses applications, entre autres, en gestion industrielle (nombre d'accidents de travail, vérification comptable, contrôle de la qualité), en gestion des entreprises (service à la clientèle, étude des flux de production par l'étude des files d'attente), dans le domaine de la circulation routière (nombre de véhicules utilisant une route en particulier ou se présentant à un poste de péage), etc.

La théorie

Plus formellement, on peut caractériser cette distribution qui décrit les occurrences d'un certain événement, que l'on qualifie de succès, pendant une certaine période ou dans un certain espace, de la façon suivante :

1. Les occurrences de succès dans des intervalles de temps disjoints sont indépendantes entre elles. Autrement dit, le nombre d'occurrences au cours d'un intervalle de temps est indépendant du nombre d'occurrences au cours d'un intervalle précédent.
2. La probabilité d'occurrence d'un événement pour une unité de temps ou d'espace est la même pour toutes les unités de temps ou d'espace.
3. Le nombre moyen ou espéré d'événements pour chaque unité est dénoté par la lettre grecque lambda (λ).

Ce type de distribution est fréquemment rencontré en gestion et, en particulier, dans l'étude des files d'attente. Par exemple, si le service à la clientèle d'une entreprise reçoit six appels à l'heure, alors :

• peu importe ce qui s'est produit avant, je peux m'attendre à avoir six appels en moyenne dans la prochaine heure;
• la probabilité d'avoir, par exemple, deux appels est la même entre 8 h 00 et 9 h 00 qu'entre 14 h 00 et 15 h 00 ou 8 h 00 et 9 h 00 une autre journée;
• λ = 6 appels.

La formulation

Mathématiquement, une v.a. discrète X qui prend les valeurs entières x = 0, 1, 2, ..., avec les probabilités :

[pic 1]

est une v.a. qui suit une distribution de Poisson de paramètre λ = 1/k.

Notation. On désigne par Po(λ), la famille de toutes les v.a. de la distribution de Poisson de paramètre λ.

Les caractéristiques de X [pic 2] Po(λ)

1. L'espérance : E(X) = λ
2. La variance : Var(X) = λ

L'application dans Excel

Étant donné l'utilisation très fréquente de la distribution de Poisson, on dispose de tables regroupant les probabilités relatives à cette distribution pour différentes valeurs du paramètre λ. Prenons l'exemple suivant pour montrer comment procéder avec Excel.

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