Sens de variation de fonction

I- Les fonctions exponentielles de base a

On considère la suite géométrique de raison 𝑎 définie par 𝑢௡ = 𝑎

௡

.

Elle est définie pour tout entier naturel 𝑛.

En prolongeant son ensemble de définition pour tout réel positif 𝑥, on définit la fonction exponentielle

de base 𝑎 :𝑓(𝑥) = 𝑎

௫

Définition :

La fonction 𝒇(𝒙) = 𝒂

𝒙

, avec a réel strictement positif, s’appelle la fonction exponentielle de base a.

Exemple :

Pour une suite géométrique de raison 𝑎 = 2 et de premier

terme 1, on a : 𝑢ଷ = 2ଷ = 8.

Pour la fonction correspondante, on a :𝑓(3) = 2ଷ = 8

Mais on a également : 𝑓(1,5) = 2ଵ,ହ ≈ 2,83.

Et de façon générale, 𝑓(𝑥) = 2௫

pour tout réel 𝑥 positif.

La fonction 𝑓 est appelée fonction exponentielle de base 2.

Application 1 :

Rémi place 500€ au taux annuel de 4,5% pendant 𝑛 années. On note 𝑢௡ le capital au bout de 𝑛 années.

1. Montrer que (𝑢௡) est une suite géométrique et exprimer 𝑢௡ en fonction de 𝑛.

2. Quel est le capital de Rémi au bout de 3ans ? au bout de 17 ans ?

3. Soit f la fonction définie sur [0 ;18] par 𝑓(𝑥) = 500 × 1,045௫

Calculer 𝑓(1,5) et 𝑓 ቀ

଻

ଷ

ቁ. Interpréter concrètement ces résultats.

Propriétés algébriques :

𝑎

଴ = 1 et 𝑎

ଵ = 𝑎

𝑎

௫ା௬ = 𝑎

௫ × 𝑎

௬

𝑎

௫ି௬ =

௔

ೣ

௔೤

et 𝑎

ି௬ =

ଵ

௔೤

(𝑎

௫

)

௡ = 𝑎

௡௫, avec n un entier relatif.

Application 2 :

Simplifier les expressions

...