Sens de variation d’une suite réelle

Sens de variation d’une suite réelle

Soit (un)n?N une suite réelle.

• La suite (un)n?N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.

La suite (un)n?N est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 6 un.

• La suite (un)n?N est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 > un.

La suite (un)n?N est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1 < un.

• La suite (un) est monotone si et seulement si la suite (un)n?N est croissante ou la suite (un)n?N est décroissante.

La suite (un) est strictement monotone si et seulement si (un)n?N est strictement croissante ou strictement décroissante.

Techniques d’étude du sens de variation d’une suite

– On compare directement un+1 à un pour chaque entier n.

– On étudie le signe de un+1 - un pour chaque entier n.

– Si la suite (un)n?N est strictement positive et définie par des produits (ex : un = 2

nn!), on compare un+1

un

à 1 pour

chaque entier n.

– Si la suite est du type un = f(n), on peut étudier les variations de la fonction f puis utiliser le théorème :

si f est une fonction définie sur [0, +8[ et si pour tout entier naturel n un = f(n), alors

si f est croissante sur [0, +8[, la suite (un)n?N est croissante,

si f est strictement croissante sur [0, +8[, la suite (un)n?N est strictement croissante,

si f est décroissante sur [0, +8[, la suite (un)n?N est décroissante,

si f est strictement décroissante sur [0, +8[, la suite (un)n?N est strictement décroissante.

Suites réelles majorées, minorées, bornées

Soit (un)n?N une suite réelle.

(un)n?N est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un 6 M.

(un)n?N est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un > m.

(un)n?N est bornée si et seulement si (un)n?N est minorée et majorée.

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