La dérivation et variation de fonctions

Chapitre VI

DØrivation et variations de fonction

Table des matiŁres

1. Fonction dØrivØe et opØrations sur les fonctions dØrivØes        2

1. Fonction dØrivØe d   une fonction donnØe        2
2. DØrivØe de fonctions usuelles        2
3. OpØrations sur les fonctions dØrivØes        3

1. Applications de la dØrivation : lien entre sens de variation et signe de la dØrivØe        4

1. Variations d   une fonction        4
2. Extremums d   une fonction        5
3. MØthode : Øtude des variations d   une fonction        6

1. Fonction dØrivØe et opØrations sur les fonctions dØrivØes

Soit f une fonction dØfinie sur un intervalle I.

1. Fonction dØrivØe d une fonction donnØe

PropriØtØ :

Si f est une fonction dØrivable en tout point a d une intervalle I, on dit que f est dØrivable sur I.

La fonction qui, chaque rØel x de I, associe le nombre dØrivØ f (x) de f en x est appelØe la fonction dØrivØe de f, notØ f   . Ainsi,        ":        (        ).

Exemple :

Soit g la fonction dØfinie sur        par g(x)=x et soit a un rØel. Pour        0,

( ) = / (        1)23/(        ) =        123

 = 2 =        .

2        2        2

On a donc lim

2        9

 (        ) = lim=        .

2        9

La fonction g est donc dØrivable en toute valeur a de        et g (a)=1. Donc la fonction dØrivØe g        est dØfinie sur        par g (x)=1.

1. DØrivØe de fonctions usuelles

Lien vidØo : lien

DØmonstration : fonction dØrivØe de la fonction carrØ et de la fonction inverse Fonction carrØ :

Si f(x)=x   2, alors        (   ) =  (        12O) 3   O  =    O1P        212O3   O  =  P        212O =  2(P        12) =        +        .

On a donc

2        9

 (        ) =

2        9

 2        2        2        2

(        +        ) =        .

Donc f est dØrivable en a et f (a)=2a. Ainsi, pour tout rØel x, f (x)=2x.

Fonction inverse :

Soit        0 et        0 tel que        +        0.

Alors        (        + )        ( ) =   D

 D =        (3

 1)2 =        32        .

12

Ainsi,        ( ) = U(        1)23U(        )=        2

 (        1)2

D =        D

 (        12)

.

2

Par consØquent,

 (        1)2        2

(        ) =        ( D

 (        12)

) =        D

 =        D .

2        9        2        9

 (        12)

 (        1)9        O

O

Donc f est dØrivable en a et f   (a)=        =        D .O

Ainsi, pour tout rØel x, f   (x)        =        D .W

1. OpØrations sur les fonctions dØrivØes

PropriØtØs :

"        #        $

"        #        $

...