Projet d'analyse numérique (méthode de Trapez et Simpson)

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              ECOLE NATIONALE SUPERIEUR D’ELECTRICITE ET DE MECANIQUE

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                                         1èreannée G. INDUSTRIEL 2014-2015

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        Nous tenons à vous exprimer notre immense gratitude à travers ces quelques lignes dans lesquelles nous vous remercions pour les efforts que vous déployez pour former de bons ingénieurs.

Le travail que vous nous avez demandé de faire nous a permis de découvrir beaucoup de méthodes et de notions que nous ignorions auparavant, mais grâce à ce mini projet nous avons essayé de combler nos lacunes et aller de l’avant.

De plus, l’élaboration de nos solutions avec le logiciel MATLAB nous a permis d’avancer dans l’utilisation de cet outil de programmation.

Enfin, nous remercions tous ceux qui ont contribué à la réalisation de ce mini projet.

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          Depuis une vingtaine d’années, La puissance croissante des ordinateurs a permis d’aborder, puis de résoudre complètement des problèmes de plus en plus nombreux et de plus en plus difficiles, par leur complexité propre et par le nombre des informations à traiter.

L’ingénieur d’aujourd’hui ne doit pas ignorer ces techniques, ni les situations nouvelles qu’elles permettent de considérer. De ce fait, il doit posséder une bonne formation tant en Analyse Mathématique qu’en Analyse Numérique et en Analyse statistique, en vue d’une meilleure compréhension des phénomènes et donc d’une meilleure utilisation de ce nouveau moyen d’investigation et de décision.

Cette formation, pour être bien adaptée, ne doit pas être coupée de réalité et doit cibler des problèmes physiques concrets.

Par ailleurs, dans toutes les branches d’activités industrielles et économiques, en particulier dans tous les génies (chimique, civil, électrique, mécanique, métallurgiques,…), les ingénieurs sont amenés à résoudre des problèmes d’optimisation c’est à dire à choisir, entre plusieurs solutions possibles, celle qui est la meilleure.

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1. Introduction…………………………p5
2. Travail demandé…………………....p7
3. Objectif……………………………...p8
4. Etude numérique…………………...p9

1. Choix de logiciel………………..p9
2. Méthode de Trapèzes………….p10

1. Explication de la méthode…………….p10
2. Mise en œuvre de la méthode………...p12

• Approche mathématique :
• Programme de la méthode de Trapèzes :
• Résultat après exécution :

1. Méthode de Simpson………….p16

1. Explication de la méthode……………p16
2. Mise en œuvre de la méthode………...p17

• Approche mathématique :
• Programme de la méthode de Trapèzes :
• Résultat après exécution :

1. Comparaison de deux méthodes…p22
2. Conclusion……………………..p22

1. Conclusion général………………...p23

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         L’analyse numérique est une discipline des mathématiques. Elle s’intéresse tant aux fondements théoriques qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique.

C’est aussi l’étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes de mathématiques continues cela signifie qu’elle s’occupe principalement de répondre numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie.

L’étude des intégrales forme une partie importante de l’analyse numérique. Les erreurs introduites dans la solution d’un problème ont plusieurs origines:

-Les erreurs d’arrondis surviennent car il est impossible de représenter en pratique tous les nombres réels exactement sur une machine à états finis (ce que sont en fin de compte tous les ordinateurs numériques).

-Les erreurs de troncature sont commises par exemple quand une méthode itérative est terminée et que la solution approchée obtenue diffère de la solution exacte.

-les erreurs de discrétisation sont induites par la discrétisation d’un problème (aussi appelée quantification dans les applications pratiques de calcul numérique) car la solution du problème discret ne coïncide pas exactement avec la solution du problème continu.[pic 19][pic 20]

Une fois que l’erreur est générée, elle se propagera généralement tout au long du calcul. Cela conduit à la notion de stabilité numérique: un algorithme est numériquement stable si une erreur, une fois générée, ne croît pas trop durant le calcul (dans une méthode de calcul itératif, une erreur trop grande peut dans certains cas faire diverger l’algorithme qui ne parviendra pas à approcher la solution). Cela n’est possible que si le problème est bien conditionné, ce qui signifie que la solution ne change que d’une faible quantité si les données du problème sont changées d'un montant faible. Ainsi, si un problème est mal conditionné, alors la moindre erreur dans les données provoquera une erreur très importante dans la solution trouvée. Cependant, un algorithme qui résout un problème bien conditionné peut être ou ne pas être numériquement stable.

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