Mathematics Vecteurs

Exercice 1

1

a : faux, car dans le parallélogramme AXMT, AX ≠ MT, les deux vecteurs sont de sens contraire

b : vrai

c : faux, XA ≠ TM, les vecteurs sont de sens contraire

2.

a) vrai (théorème de Chasles)

b) faux : BZ + DU = 0 ==> BZ = - DU ==> BZ = UD

c) faux : BU + ZD = 0 ==> BU = ZD, donc BU + ZD = 2 BU ou 2 ZD

3.

a) vrai, car AC = 3/2 AB

b) vrai AB(6 ;2) et BC(3 ;1) ==> AB = 2BC ==> BA = -2BC

c) faux, AB = 2/3 AC

Exercice 2

1 D’après la figure, on peut conjecturer que les points G, I, E sont alignés.

2. AE = BA + BE ; or BE = 2 BC puisque E est le symétrique de B par rapport à C →

AE = BA + 2 BC

AG = 2/3 AI puisque G est le centre de gravité du triangle ACD ; or, d’après le théorème de Chasles, AI = 1/2 (BA + BE) → AI = 1/2 (BA + 2BC) →

AI = 1/2 BA + BC →AG = 2/3 (1/2 BA + BC) →AG =1/3 BA + 2/3 BC

3. AG = 1/3 AE ; les vecteurs AG et AE sont colinéaires ; conclusion : les points G, I et E sont alignés.

Exercice 3

1. les coordonnées de K sont ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ) = ((1-1)/2 ; (4-1)/2 ) → K(0 ; 3/2 )

2. Si AM = kAC, les vecteurs sont colinéaires et par conséquent les points A, M, C sont alignés.

Coordonnées du vecteur AM (xM – xA ; yM – YA) → AM(7/3 – 1 ; 8/3 -4) → AM(4/3 ; - 4/3)

Coordonnées du vecteur AC (xc – xA ; yC – YA) → AC(5-1 ; 0-4) → AC(4 ; -4)

AM = 1/3 AC. Les vecteurs AM et AC sont colinéaires, les point A, M, C sont alignés.

3. ABCD est un parallélogramme, donc BC = AD ; les coordonnées de BC sont (6 ; 1). Celles de AD sont (xD – xA ; yD – yA) → (xD – 1 ; yD – 4). Etant donné que BC = AD → xD -1 = 6 et yD – 4 = 1, d’où xD = 7 et yD = 5. Les coordonnées de D sont (7 ; 5)

4. Si KM = k KD, les vecteurs KM et KD sont colinéaires et par conséquent, les points K, M et D sont alignés

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